ìm trên các cạnh AB, BC, CA các điểm K, H, I sao cho chu vi tam giác KHI nhỏ nhất.

a, Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
\(x^2+y^2+2ax+2by+c=0, \ (a^2+b^2-c>0)\)
Ta có:
\(\left\{\begin{matrix} 4+36+4a+12b+c=0\\ 1+1+2a+2b+c=0\\ 36+9+12a+6b+c=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a=-\frac{139}{46};b=-\frac{147}{46};c=\frac{240}{23}\) (thỏa mãn)

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
\(x^2+y^2-\frac{139}{23}x-\frac{147}{23}y+\frac{240}{23}=0\)
b,

A (2; 6), B (1; 1), C (6; 3)
Ta có: \(\overrightarrow{AB}(-1;-5),\overrightarrow{AC}(4;-3),\overrightarrow{BC}(5;2)\Rightarrow AB=\sqrt{26};AC=5;BC=\sqrt{29}\)
BC > AB > AC \(\widehat{A}>\widehat{C}>\widehat{B}\) mà cos A > 0 \(\Rightarrow \Delta ABC\) nhọn
 Gọi E, F lần lượt đối xứng với H qua AB, AC. Ta có:
AE = AH = AF, suy ra tam giác AEF cân tại A và \(\widehat{EAF}=2\widehat{A}\)
Chu vi ΔHIK = KE + KJ + IF \(\geq\) EF
Gọi M là trung điểm EF, trong tam giác vuông AME, ta có:
\(ME = AE. sin = AH. sin\)
Suy ra: Chi vi tam giác HKI là
\(KE+KJ+IF\geq EF.EF=2sinA.AH\geq 2sinA.d(A;BC)=\frac{2S_{\Delta ABC}}{R}\)
Dấu “=” xảy ra H là chân đường cao kẻ từ A xuống BC và K, I là giao điểm của EF với AB, AC
Ta chứng minh: \(\widehat{IHF}+\widehat{CHF}=\widehat{A}\)
Có: \(\widehat{IHF}=\widehat{AHF}-\widehat{AHI}=\widehat{AHF}-\widehat{AFI}=\widehat{AHF}-\frac{1}{2}(180^0-2\widehat{A})\)
\(=\widehat{C}-90^0+\widehat{A}\)
\(\widehat{FHC}=90^0+\widehat{C}\), suy ra: \(\widehat{IHF}+\widehat{CHF}=\widehat{A}\), suy ra tứ giác ABHI nội tiếp, suy ra \(\widehat{AIB}=\widehat{AHB}=90^0\), suy ra I là chân đường cao tam giác ABC kẻ từ B. Tương tự có K là chân đường cao của C xuống AB.
Phương trình các đường thẳng:
\((AB):5x-y-4=0;(AC):3x+4y-30=0;(BC):2x-5y+3=0\)
\((AH):5x+2y-22=0;(BI):4x-3y-1=0;(CK):x+5y-21=0\)
Suy ra \(H\left ( \frac{104}{29};\frac{59}{29} \right ) K\left ( \frac{41}{26};\frac{101}{26} \right ) I\left ( \frac{94}{25};\frac{117}{25} \right )\)