Hãy tìm số nguyên lớn nhất của ẩn \(x\) để \(f\left( x \right) = \frac{{x + 4}}{{{x^2} - 9}} - \frac{2}{{x + 3}} - \frac{{4x}}{{3x - {x^2}}}\) nhận giá trị âm.

Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{x + 4}}{{{x^2} - 9}} - \frac{2}{{x + 3}} - \frac{{4x}}{{3x - {x^2}}}\),\(\left( {x \ne 0,\,\,\,x \ne  \pm 3} \right)\)

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \frac{{x + 4}}{{{x^2} - 9}} - \frac{2}{{x + 3}} - \frac{{4x}}{{3x - {x^2}}}\\ = \frac{{x + 4}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{2}{{x + 3}} - \frac{{4x}}{{x\left( {3 - x} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {x + 4} \right) - 2x\left( {x - 3} \right) + 4x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + 4x - 2{x^2} + 6x + 4{x^2} + 12x}}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{3{x^2} + 22x}}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{3x + 22}}{{{x^2} - 9}}.\end{array}\)

Ta có bảng xét dấu:

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{x + 4}}{{{x^2} - 9}} - \frac{2}{{x + 3}} - \frac{{4x}}{{3x - {x^2}}}\) nhận giá trị âm khi \(x \in \left( { - \infty ;\frac{{ - 22}}{3}} \right) \cup \left( { - 3;0} \right) \cup \left( {0;3} \right)\)

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của \(x\)  để \(f\left( x \right) = \frac{{x + 4}}{{{x^2} - 9}} - \frac{2}{{x + 3}} - \frac{{4x}}{{3x - {x^2}}}\) nhận giá trị âm là \(x = 2\)