Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: \(\dfrac{{{x^2} - (m + 1)x - \dfrac{{21}}{4}}}{{x - 3}} = 2x + m\)

Điều kiện của phương trình là: \(x \ne 3.\)

Ta có

\(\dfrac{{{x^2} - (m + 1)x - \dfrac{{21}}{4}}}{{x - 3}} = 2x + m\) \( \Rightarrow {x^2} - (m + 1)x - \dfrac{{21}}{4} = (x - 3)(2x + m)\) \( \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 1} \right)x - \frac{{21}}{4} = 2{x^2} + \left( {m - 6} \right)x - 3m\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + (2m - 5)x + \dfrac{{21}}{4} - 3m = 0\)

Ta có:

\(\Delta  = {\left( {2m - 5} \right)^2} - 4\left( {\frac{{21}}{4} - 3m} \right) \) \(= 4{m^2} - 20m + 25 - 21 + 12m \) \(= 4{m^2} - 8m + 4 \) \(= 4{\left( {m - 1} \right)^2}\ge 0, \forall m\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = \frac{{ - 2m + 5 + 2\left( {m - 1} \right)}}{2} = \frac{3}{2}\\
{x_2} = \frac{{ - 2m + 5 - 2\left( {m - 1} \right)}}{2} = \frac{{7 - 4m}}{2}
\end{array} \right.\)

Phương trình cuối luôn có nghiệm \({x_1} = \dfrac{3}{2},{x_2} = \dfrac{{7 - 4m}}{2}\).

Ta có: \(\dfrac{{7 - 4m}}{2} \ne 3\) \( \Leftrightarrow 7 - 4m \ne 6\) \( \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{4}\)

Kết luận

Với \(m \ne \dfrac{1}{4}\)phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = \dfrac{3}{2}\)và \(x = \dfrac{{7 - 4m}}{2}\).

Với \(m = \dfrac{1}{4}\)phương trình có một nghiệm \(x = \dfrac{3}{2}\).