Giải và biện luận phương trình \(\dfrac{{x - m}}{{x - 1}} = {m^2}\) theo tham số m.

Xét phương trình \(\dfrac{{x - m}}{{x - 1}} = {m^2}\)  (1)

Điều kiện xác định: \(x \ne 1\) .

Với điều kiện trên phương trình tương đương

\(x - m = {m^2}\left( {x - 1} \right) \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow x - m = {m^2}x - {m^2}\\
\Leftrightarrow {m^2}x - x = {m^2} - m
\end{array}\)

\(\Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)x = {m^2} - m\)    (2)

Với \({m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\) : Phương trình (2) có nghiệm duy nhất

\(x = \dfrac{{{m^2} - m}}{{{m^2} - 1}}  = \frac{{m\left( {m - 1} \right)}}{{\left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)}}= \dfrac{m}{{m - 1}}\)

Nghiệm này thỏa mãn điều kiện \(x \ne 1\) .

Với: \({m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 1\)

+)  \(m= 1\) phương trình (2) trở thành \(0x= 0\). Phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\in R\).

Suy ra phương trình (1) nghiệm đúng với mọi \(x \ne 1\) .

+) \(m= -1\) phương trình (2) trở thành \(0x= 2\). Phương trình vô nghiệm.

Suy ra phương trình (1) vô nghiệm.

Kết luận:

\(m \ne  \pm 1:x = \dfrac{m}{{m - 1}}\)

\(m = 1:x \ne 1\)

\(m =  - 1\) : Vô nghiệm