Giải phương trình: \((2x^2 - 2x + 1)(2x - 1) + (8x^2 - 8x + 1)\sqrt{-x^2 + x} = 0 \ \ \ \ (x \in \mathbb{R})\)

Điều kiện \(0 \leq x \leq 1\)
\((2x^2-2x+1)(2x-1)+(8x^2-8x+1)\sqrt{-x^2+x} = 0\)
\((1-2(-x^2+x))(2x-1)+(2(2x-1)^2-1)\sqrt{-x^2+x} = 0 \ (1)\)
Đặt \(a=(2x-1);\ b=\sqrt{-x^2+x}\) phương trình đã cho trở thành
\((1-2b^2)a + (2a^2 - 1)b = 0 \Leftrightarrow (a - b) (2ab + 1) = 0 \Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} a = b \hspace{1,1cm}\\ 2ab + 1 = 0 \end{matrix}\)
Với a = b, ta có \(\sqrt{-x^2 + x} = 2x-1 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \geq \frac{1}{2} \hspace{2cm}\\ 5x^2 - 5x + 1 = 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow x = \frac{5 + \sqrt{5}}{10}\)
Với 2ab + 1 = 0 ta có \(2(2x-1)\sqrt{-x^2+x}+1 = 0 \Leftrightarrow 2(1-2x\sqrt{-x^2+x}) = 1 \ (1)\)
Phương trình có nghiệm khi \(0 < x < \frac{1}{2} \Rightarrow 0 < 1-2x <1\)
Mặt khác \(2\sqrt{-x^2 + x} = 2 \sqrt{(1-x)x} \leq (1-x) + x = 1\)
suy ra \(2\sqrt{-x^2 + x}(1-2x) \leq 1\).
Do không tồn tại x để đẳng thức xảy ra nên phương trình vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{5 + \sqrt{5}}{10}\)

Chú ý: Có thể bình phương 2 vế phương trình (1) và đặt t = (2x - 1)² để suy ra phương trình vô nghiệm