Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} 4x^2=(\sqrt{x^2+1}+1)(x^2-y^3+3y-2)

\(\left\{\begin{matrix} 4x^2=(\sqrt{x^2+1}+1)(x^2-y^3+3y-2)\\ x^2+(y+1)^2=2(1+\frac{1-x^2}{y}) \end{matrix}\right.\)

Phương trình (2) tương đương với \(\small y(x^2+y^2+2y+1)=2(y+1-x^2)\)
\(\small \Leftrightarrow (y+2)(x^2+y^2-1)=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} y=-2\\ x^2+y^2=1 \end{matrix}\)
Với y = -2 thay vào phương trình (1) ta có:
\(\small 4x^2=x^2\left ( \sqrt{x^2+1}+1 \right )\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=0\\ \sqrt{x^2+1}=3 \end{matrix}\Leftrightarrow \Leftri\bigg \lbrack \begin{matrix} x=0\\ x=\pm 2\sqrt{2} \end{matrix}\)
+) \(\small x^2+y^2=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} -1\leq x\leq 1\\ -1\leq y\leq 1 \end{matrix}\right.\). Từ phương trình (1) ta có
\(\small \Leftrightarrow 4\left [ (x^2+1)-1 \right ]=(\sqrt{x^2+1}+1)(x^2-y^3+3y-2)\)
\(\small \Leftrightarrow 4\sqrt{x^2+1}-x^2+y^3-3y-2=0\)
- Xét hàm số
\(\small f(x) =4\sqrt{x^2+1}-x^2;\forall x\in \left [ -1;1 \right ];g(y)=y^3-3y-2;\forall y\in\left [ -1;1 \right ]\)
\(\small \ Min_{\left [ -1;1 \right ]}f(x)=Min\left \{ f(-1);f(0);f(1) \right \}=f(0)=4\)
\(\small \ Min_{\left [ -1;1 \right ]}g(y)=Min\left \{ g(-1);g(0);g(1) \right \}=g(1)=4\)
\(\small f(x)+g(y)\geq 0;\forall x,y\in \left [ -1;1 \right ]\)
Dấu "=" khi x = 0; y = 1
Vậy tập nghiệm của hệ là \(\small T=\left \{ (0;-2),(2\sqrt{2};-2),(-2\sqrt{2};-2),(0;1) \right \}\)