Chứng minh |x+y| < = |x| + |y|

a)

TH1. nếu \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left|x\right|\ge\left|x+0\right|=\left|x\right|\\\left|y\right|\ge\left|0+y\right|=\left|y\right|\end{matrix}\right.\) hiển nhiên đúng

TH2.với x, y khác 0

x.y>0 nghĩa là x, y cùng dấu

\(\left|x+y\right|=\left|-x-y\right|=\left|x\right|+\left|y\right|\)

x.y<0 nghĩa là x, y trái dấu

\(\left|x+y\right|=\left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|\)

Nếu \(\left|x\right|\ge\left|y\right|\Rightarrow\left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|=\left|x\right|-\left|y\right|\)(1)

Nếu \(\left|x\right|\le\left|y\right|\Rightarrow\left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|=\left|y\right|-\left|x\right|\)(2)

hiển nhiển \(\left|x\right|+\left|y\right|\) luôn lơn hơn (1) và (2)

TH1 và TH2 => dpcm

b) x,y,z,t có vai trò như nhau đối VT =>

không mất tính tổng quát g/s: \(\left|x\right|\ge\left|y\right|\ge\left|z\right|\ge\left|t\right|\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x-y\right|=\left|x\right|-\left|y\right|\\\left|y-z\right|=\left|y\right|-\left|z\right|\\\left|z-t\right|=\left|z\right|-\left|t\right|\\\left|t-x\right|=\left|x\right|-\left|t\right|\end{matrix}\right.\)

Cộng lại

VT =\(2\left(\left|x\right|-\left|t\right|\right)\) vậy VT luôn là một số chẵn VP là số lẻ => vô nghiệm