OPTADS360
ATNETWORK
RANDOM
ON
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE

Cho từ giác \(ABCD\) nội tiếp được và có các cạnh \(a,b, c, d\). Chứng minh rằng diện tích tứ giác đó được tính theo công thức sau: \(S = \sqrt {(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)} \),trong đó \(p\) là nửa chu vi tứ giác.

  bởi Nguyễn Trà Giang 22/02/2021
AMBIENT-ADSENSE/lession_isads=0
QUẢNG CÁO
 

Câu trả lời (1)

  •  

    Giả sử \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp với độ dài cạnh là \(a, b, c, d\)  (h.65).

    Khi đó \(\widehat A + \widehat C = {180^0}\) nên \(\sin C= \sin A ;  \cos C= -\cos A.\)

    Ta có

    \(S = {S_{ABD}} + {S_{CDB}}\)

    \(= \dfrac{1}{2}ad\sin A + \dfrac{1}{2}bc\sin C\)

    hay \(2S = (ad + bc)\sin A\), suy ra \(\sin A = \dfrac{{2S}}{{ad + bc}}\).

    Mặt khác, tam giác ABD có \(B{D^2} = {a^2} + {d^2} - 2ad\cos A\), còn tam giác CBD có \(B{D^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos C\) \( = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A\).

    Suy ra \({a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2} = 2(ad + bc)\cos A\) nên \(\cos A = \dfrac{{{a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2}}}{{2(ad + bc)}}\).

    Do \({\cos ^2}A + {\sin ^2}A = 1\) nên \(16{S^2} + {({a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2})^2}\) \( = 4{(ad + bc)^2}\).

    Vậy \(16{S^2} = {\left[ {2(ad + bc)} \right]^2} - {({a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2})^2}\)

    \(\begin{array}{l} = (2ad + 2bc + {a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2})\\(2ad + 2bc - {a^2} - {d^2} + {b^2} + {c^2})\\ = \left[ {{{(a + d)}^2} - {{(b - c)}^2}} \right].\left[ {{{(b + c)}^2} - {{(a - d)}^2}} \right]\\ = (a + d + b - c)(a + d - b + c)\\(b + c + a - d)(b + c - a + d)\\ = (2p - 2c)(2p - 2b)(2p - 2d)(2p - 2a)\\ = 16(p - a)(p - b)(p - c)(p - d).\end{array}\)

    Từ đó ta có \(S = \sqrt {(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)} \).

      bởi Hoang Vu 23/02/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
 

Các câu hỏi mới

NONE
OFF