Cho biết rằng \(x \ge - 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\). Lời giải chi tiết

*) Tìm \(Min\,y\)

\(x \ge  - 1\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\\sqrt {{x^2} + 1}  > 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge 0\)\( \Rightarrow y \ge 0\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\)

Vậy \(Min\,y = 0\)\( \Leftrightarrow x =  - 1\).

*) Tìm \(Max\,y\)

Với mọi \(x,\,y \in \mathbb{R}\) ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow 2xy \le {x^2} + {y^2}\\ \Leftrightarrow 2xy + {x^2} + {y^2} \le {x^2} + {y^2} + {x^2} + {y^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2xy \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} \le 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \le \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow y \le \sqrt 2 \end{array}\)

Dấuxảy ra khi và chỉ khi \(x = 1\)

Vậy \(Max\,y = \sqrt 2  \Leftrightarrow x = 1\).