OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE
  • Câu hỏi:

    Xét các số thực a, b, x, y thoả mãn a > 1, b > 1 và \({a^{x - y}} = {b^{x + y}} = \sqrt[3]{{ab}}\). Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3x + 2y - 1 bằng \(\frac{{\sqrt m }}{n}\) với \(m,\,n \in Z_ + ^*\). Giá trị của S = m - n bằng 

    • A. 
      2
    • B. 
      4
    • C. 
      6
    • D. 
      0

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: A

    Từ \({a^{x - y}} = \sqrt[3]{{ab}} \Rightarrow x - y = {\log _a}\sqrt[3]{{ab}} = \frac{1}{3} + \frac{{{{\log }_a}b}}{3}\) và \({b^{x + y}} = \sqrt[3]{{ab}} \Rightarrow {\log _a}{b^{x + y}} = {\log _a}\sqrt[3]{{ab}} \Rightarrow (x + y){\log _a}b = \frac{1}{3} + \frac{{{{\log }_a}b}}{3}\)

    Mặt khác a > 1, b > 1 suy ra \({\log _a}b > 0 \Rightarrow x + y = \frac{1}{{3{{\log }_a}b}} + \frac{1}{3}\)

    Nên có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x - y = \frac{1}{3} + \frac{{{{\log }_a}b}}{3}}\\ {x + y = \frac{1}{{3{{\log }_a}b}} + \frac{1}{3}} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{1}{3} + \frac{{{{\log }_a}b}}{6} + \frac{1}{{6{{\log }_a}b}}}\\ {y = \frac{1}{{6{{\log }_a}b}} - \frac{1}{6}{{\log }_a}b} \end{array}} \right.} \right.\)

    Ta có: \(P = 3x + 2y - 1 = 3\left( {\frac{1}{3} + \frac{{{{\log }_a}b}}{6} + \frac{1}{{6{{\log }_a}b}}} \right) + 2\left( {\frac{1}{{6{{\log }_a}b}} - \frac{1}{6}{{\log }_a}b} \right) - 1 = \frac{{{{\log }_a}b}}{6} + \frac{5}{{6{{\log }_a}b}}\)

    Áp dụng BĐT Cô-Si cho hai số không âm \(\frac{{{{\log }_a}b}}{6},\frac{5}{{6{{\log }_a}b}}\) ta có

    \(P = \frac{{{{\log }_a}b}}{6} + \frac{5}{{6{{\log }_a}b}} \ge 2 \cdot \sqrt {\frac{{{{\log }_a}b}}{6} \cdot \frac{5}{{6{{\log }_a}b}}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

    Dấu bằng khi \(\frac{{{{\log }_a}b}}{6} = \frac{5}{{6{{\log }_a}b}} \Leftrightarrow {\log _a}b = 5\)

    Vậy giá trị nhỏ nhất \(P = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \Rightarrow x = \frac{6}{5};y = - \frac{4}{5}.{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m = 5}\\ {n = 3} \end{array} \Rightarrow S = m - n = 2} \right.\)

    Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

ADSENSE/
QUẢNG CÁO
 

 

CÂU HỎI KHÁC

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12