Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}
\frac{{2x - 2}}{{x + 1}} = 2x + m\\
 \Rightarrow 2x - 2 = \left( {2x + m} \right)\left( {x + 1} \right)\\
 \Leftrightarrow g(x) = 2{x^2} + mx + m + 2 = 0\,\,\left( * \right)
\end{array}\)

Đường thẳng \(y=2x+m\) cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi

\((*)\) có 2 nghiệm phân biệt khác \(-1\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta  = {m^2} - 4.2\left( {m + 2} \right) > 0}\\
{g\left( { - 1} \right) \ne 0}
\end{array}} \right.}\\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} - 8m - 8 > 0}\\
{2 - m + m + 2 = 4 \ne 0\left( {ld} \right)}
\end{array}} \right.}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > 4 + 2\sqrt 6 }\\
{m < 4 - 2\sqrt 6 }
\end{array}\left( {**} \right)} \right.}
\end{array}\)

Khi đó: 

\(A\left( {{x_A};2{x_A} + m} \right),B\left( {{x_B};2{x_B} + m} \right)\)

Theo định lí Vi-et: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_A} + {x_B} =  - \frac{m}{2}\\
{x_A}.{x_B} = \frac{{m + 2}}{2}
\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}
AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \\
 \Rightarrow \sqrt 5  = \sqrt 5 .\sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2}} \\
 \Leftrightarrow 1 = \sqrt {{{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}^2} - 4{x_A}.{x_B}} \\
 \Leftrightarrow 1 = \sqrt {\frac{{{m^2}}}{4} - 2m - 4} \\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{m^2}}}{4} - 2m - 4 \ge 0\\
\frac{{{m^2}}}{4} - 2m - 5 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{m^2}}}{4} - 2m - 4 \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m = 10\left( n \right)\\
m =  - 2\left( n \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện (**) ta có các giá trị m cần tìm là:

\(m = 10,m =  - 2\)

Suy ra tổng các giá trị m trên là \(8\)

Chọn A.