Ta có: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{b^2} + {c^2}} \) 

Do AD là phân giác trong của \(\widehat {BAC}\). 

\(\Rightarrow BD = \frac{{AB}}{{AC}}.DC = \frac{c}{b}.DC = \frac{c}{{b + c}}.BC = \frac{{c\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{b + c}}\) 

Theo định lí hàm cosin, ta có:

\(\begin{array}{l}
B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.\cos \widehat {ABD}\\
 \Leftrightarrow \frac{{{c^2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} = {c^2} + A{D^2} - 2c.AD.\cos 45^\circ \\
 \Rightarrow A{D^2} - c\sqrt 2 .AD + \left( {{c^2} - \frac{{{c^2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow A{D^2} - c\sqrt 2 .AD + \frac{{2b{c^3}}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} = 0\\
 \Rightarrow AD = \frac{{\sqrt 2 bc}}{{b + c}}
\end{array}\) 

Hay \(m = \frac{{\sqrt 2 bc}}{{b + c}}\) 

Đáp án đúng là: A