-
Câu hỏi:
Phương trình \(\sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}-\sqrt{4{{\log }_{8}}x}={{\log }_{2}}x-2021\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?
-
A.
1
-
B.
2
-
C.
3
-
D.
4
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: A
Điều kiện xác định:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 4{\log _8}x \ge 0\\ 2021 + {\log _8}x \ge 0\\ x > 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x \ge 1 \end{array}\)
Ta có
\(\begin{array}{l} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \sqrt {2021 + {{\log }_8}x} - \sqrt {4{{\log }_8}x} = {\log _2}x - 2021\\ \Leftrightarrow \sqrt {2021 + \frac{1}{3}{{\log }_2}x} - \sqrt {\frac{4}{3}{{\log }_2}x} = {\log _2}x - 2021\\ \Leftrightarrow \sqrt {2021 + \frac{1}{3}{{\log }_2}x} - \sqrt {\frac{4}{3}{{\log }_2}x} = \frac{4}{3}{\log _2}x - \left( {\frac{1}{3}{{\log }_2}x + 2021} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{3}{{\log }_2}x + 2021} \right) + \sqrt {2021 + \frac{1}{3}{{\log }_2}x} = \frac{4}{3}{\log _2}x + \sqrt {\frac{4}{3}{{\log }_2}x} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (2) \end{array}\)
Xét hàm số \(f(t)={{t}^{2}}+t\) với \(t\ge 0\).
Vì \(f'(t)=2t+1>0,\,\forall t\ge 0\) nên \(f(t)={{t}^{2}}+t\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ 0;+\infty \right)\). Từ (2) ta có
\(f\left( \sqrt{2021+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}x} \right)\)\( =f\left( \sqrt{\frac{4}{3}{{\log }_{2}}x} \right)\).
Suy ra
\(\sqrt{2021+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}x}\)\( =\sqrt{\frac{4}{3}{{\log }_{2}}x}\)\( \Leftrightarrow 2021+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}x=\frac{4}{3}{{\log }_{2}}x\)\( \Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=2021\)\( \Leftrightarrow x={{2}^{2021}}\) (t/m)
Vậy phương trình có \(1\) nghiệm nguyên.
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Diện tích của mặt cầu có bán kính bằng \(5\) là
- Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( -1;2;0 \right)\), \(B\left( 3;1;1 \right)\) và \(C\left( 1;6;5 \right)\). Trọng tâm tam giác \(ABC\) có tọa độ là
- Cho \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=4\); \(\int\limits_{0}^{2}{g\left( x \right)dx}=1\).
- Một khối trụ có bán kính đáy bằng \(2\) và chiều cao bằng \(3\). Thể tích khối trụ bằng
- Cho các số phức \(z=\,-1+2i,\,w=\,3-i\). Phần ảo của số phức \({{s}_{z}}=\,z.\overline{w}\) bằng
- Cho hàm số bậc bốn \(y=\,f(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên.
- Cho số phức \(z=\,2-3i\). Điểm biểu diễn của số phức \(\overline{z}\) là
- Cho hàm số \(y=\,f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu đạo hàm như hình dưới. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
- Tập nghiệm của phương trình \({{3}^{{{x}^{2}}-3x}}=1\) là
- Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 2 chữ số phân biệt?
- Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4 \right),\forall x\in \mathbb{R}\).
- Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\) là
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi \(a\), \(A\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ -5;1 \right]\).
- Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) thỏa mãn \({{u}_{4}}-{{u}_{1}}=6\). Công sai của \(\left( {{u}_{n}} \right)\) bằng
- Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( 1;1;2 \right)\) và \(B\left( -1;3;3 \right)\). Một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) có tọa độ là
- Giả sử \(a\), \(b\) là các số thực dương tùy ý, \({{\log }_{4}}\left( {{a}^{6}}{{b}^{2}} \right)\)
- Mệnh đề nào sau đây đúng?
- Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{3}^{2-x}}\)
- Cho khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có tất cả các cạnh bằng \(\sqrt{2}\). Cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc \({{60}^{\circ }}\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\).
- Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(\sqrt{2}\), cạnh bên \(SA=2\) và vuông góc với mặt phẳng đáy.
- Trong không gian \(Oxyz,\) mặt phẳng đi qua ba điểm \(A\left( 1;-2;1 \right),\,\,B\left( 4;-5;1 \right)\) và \(C\left( 2;0;2 \right)\) có phương trình là
- Diện tích xung quanh của hình nón có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng \(\sqrt{2}\) là
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-2x \right)}\,dx=\frac{1}{3}.\)
- Cho các số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \({{a}^{4}}{{b}^{3}}=1.\) Giá trị của \({{\log }_{a}}\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{3}}}\) bằng
- Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):x-2y+2z-3=0.\)
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)={{x}^{2}}+x-2\). Hỏi hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-3 \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
- Gọi \(S\) là tập hợp gồm 18 điểm được đánh dấu trong bàn cờ ô ăn quan như nhìn bên. Chọn ngẫu nhiên 2 điểm thuộc \(S\)
- Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài cạnh bằng \(\sqrt{6}\). Khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(BD\) và \(CC'\) bằng
- Gọi \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là các nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}-4z+13=0\), trong đó \({{z}_{2}}\) có phần ảo dương
- Gọi \(\left( D \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=0,y=x\) và \(y=\sqrt{x+2}\). Diện tích \(S\) của \(\left( D \right)\) được tính theo công thức nào dưới đây?
- Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{\sqrt{x+2}-1}{{{x}^{2}}-4}\) là
- Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Hỏi phương trình \(f\left( 1-x \right)=1\) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \(\left( 0;\,+\infty \right)\)?
- Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như hình bên
- Giả sử \(z,w\) là hai số phức thỏa mãn \(\left| z \right|=\left| w \right|=\frac{5}{2},\,\,\,\left| z-w \right|=4\). Trên mặt phẳng \(Oxy\)
- Giả sử \(a,b\) là các số thực dương. Gọi \({{V}_{1}}\) là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \(y=a\sqrt{x}\), \(y=0\), \(x=1\) quanh trục \(Ox\)
- Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\left( {{3}^{{{x}^{2}}-1}}-{{27}^{x+1}} \right)\left[ {{\log }_{3}}\left( x+8 \right)-2 \right]\le 0\) là
- Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{x-1}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z+1}{1}\) và hai điểm \(A\left( 2;0;3 \right),B\left( 4;2;1 \right)\)
- Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x-5}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+25}{-2}\) và điểm \(M\left( 2;3;-1 \right)\).
- Gọi \(m\) là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=\frac{ax+32-a}{{{2}^{x}}},(a\in \mathbb{R})\) trên đoạn \(\left[ -2;1 \right]\).
- Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,\,AB=1\) và \(AC=2\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy.
- Cho mặt cầu có bán kính bằng \(3\). Một khối nón có chiều cao thay đổi sao cho đỉnh và đường tròn
- Cho hai hàm số \(f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+d\)
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
- Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x;\,y \right);\,y\in \left[ 0;\,{{2021}^{3}} \right]\) thỏa mãn phương trình \({{\log }_{4}}\left( x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}} \right)={{\log }_{2}}\left( y-x \right)\)?
- Phương trình \(\sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}-\sqrt{4{{\log }_{8}}x}={{\log }_{2}}x-2021\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?
- Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(AB=1\), cạnh bên \(SA=1\) và vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( ABCD \right)\).
- Xét các số thực \(a\) thay đổi thỏa mãn \(\left| a \right|\le 2\) và \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) là các nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}-az+1=0\).
- Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( 2\ ;\ 1\ ;\ 3 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+my+\left( 2m+1 \right)z-m-2=0\), với \(m\) là tham số.
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm là \({f}'\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}+9x \right)\left( {{x}^{2}}-9 \right),\)với mọi \(x\in \mathbb{R}\).
