-
Câu hỏi:
Gọi M, N là hai điểm di động trên đồ thị (C) của hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - x + 4\) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M và N luôn song song với nhau. Hỏi khi M, N thay đổi, đường thẳng MN luôn đi qua nào trong các điểm dưới đây ?
-
A.
Điểm \(N\left( { - 1; - 5} \right).\)
-
B.
Điểm \(M\left( {1; - 5} \right).\)
-
C.
Điểm \(Q\left( {1;5} \right).\)
-
D.
Điểm \(P\left( { - 1;5} \right).\)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: C
Gọi \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right),N\left( {{x_N};{y_N}} \right)\)
Do \(M,N \in \left( C \right)\) nên \(M\left( {{x_M}; - x_M^3 + 3x_M^2 - {x_M} + 4} \right),N\left( {{x_N}, - x_N^3 + 3x_N^2 - {x_N} + 4} \right)\)
Theo giả thiết tiếp tuyến của (C) tại M và N luôn song song với nhau nên ta có:
\(\begin{array}{l}
y'\left( {{x_M}} \right) = y'\left( {{x_N}} \right) \Leftrightarrow - 3{x_M}^2 + 6{x_M} - 1 = - 3{x_N}^2 + 6{x_N} - 1 \Leftrightarrow - 3{x_M}^2 + 6{x_M} + 3{x_N}^2 - 6{x_N} = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x_N} - {x_M}} \right)\left( {{x_N} + {x_M} - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_N} - {x_M} = 0\\
{x_N} + {x_M} = 2
\end{array} \right.
\end{array}\)Do M và N phân biệt nên \({x_N} \ne {x_M}\) , suy ra \(x_N+x_M=2\)
Ta có
\(\begin{array}{l}
{y_M} + {y_N} = - \left( {{x_M}^3 + {x_N}^3} \right) + 3\left( {{x_M}^2 + {x_N}^2} \right) - \left( {{x_M} + {x_N}} \right) + 8\\
= - \left[ {{{\left( {{x_M} + {x_N}} \right)}^3} - 3\left( {{x_M} + {x_N}} \right){x_M}{x_N}} \right] + 3\left[ {{{\left( {{x_M} + {x_N}} \right)}^2} - 2{x_M}{x_N}} \right] - \left( {{x_M} + {x_N}} \right) + 8\\
= - \left[ {{2^3} - 6{x_M}{x_N}} \right] + 3\left[ {{2^2} - 2{x_M}{x_N}} \right] - 2 + 8 = 10
\end{array}\)Từ đây suy ra đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định là trung điểm Q(1;5) của MN
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Tìm giá trị cực tiểu \(y_{CT}\) của hàm số \(y = - {x^3} + 3x - 4\).
- Phương trình: \({\log _3}\left( {3x - 2} \right) = 3\) có nghiệm là
- Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?
- Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% mỗi
- Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^{2016}} + x - 2}}{{\sqrt {2018x + 1} - \sqrt {x + 2018} }}}&
- Cho biểu thức \(P = \sqrt[3]{{x.\sqrt[4]{{{x^3}\sqrt x }}}}\), với \(x > 0.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
- Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để hàm số \(y = \left| {x - 1} \right| + \left| {x + 3} \right|\) đạt giá trị nhỏ nh�
- Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng \(a\).
- Đường cong trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D d
- Đường thẳng \(y=2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau đây?
- Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left| {3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m} \right|\) có 5 đi�
- Biết rằng tập các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\left( {m - 3} \right){9^x} + 2\left( {m + 1} \right){3^x} - m
- Cho hình chóp S.ABC có \(SA = a,\,\,SB = 2a,\,\,SC = 4a\) và \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = {60^0}.
- Giá trị của biểu thức \(M = {\log _2}2 + {\log _2}4 + {\log _2}8 + ... + {\log _2}256\) bằng
- Kí hiệu \(\max \left\{ {a;b} \right\}\) là số lớn nhất trong hai số \(a, b\) Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \
- Với \(a\) là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?
- Gọi M, N là hai điểm di động trên đồ thị (C) của hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - x + 4\) sao cho tiế
- Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm \(M( - 3;1)\) và đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6 = 0\
- Hình hộp chữ nhật có 3 kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng
- Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(y = 2x + 1\) cắt đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - x + 3\) tại hai điểm A
- Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^{\rm{2}}} + 1\) nghịch biến trên các khoảng nào sau đây?
- Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 2{x^3} + 3{x^2} - 12x + 2\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) thuộc khoảng nào dưới
- Cho hàm số \(y=f(x)\). Hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên.
- Với \(n\) là số tự nhiên lớn hơn 2, đặt \({S_n} = \frac{1}{{C_3^3}} + \frac{1}{{C_4^3}} + \frac{1}{{C_5^4}} + ... + \frac{1}{{C_n^3}}\).
- Tập nghiệm S của bất phương trình \({5^{x + 2}} < {\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{ - x}}\) là
- Khối cầu bán kính \(R = 2a\) có thể tích là
- Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng \(a\), góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng \(60^0\).
- Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
- Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2018;\,\,2018} \right]\) để phương trình\(\left
- Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị \(f(x)\) như hình vẽHàm số \(y = f\left( {1 - x} \right) + \frac{{{x^2}}}{2} - x\)
- Tìm tất cả các giá trị tham số \(m\) để bất phương trình \(6x + \sqrt {\left( {2 + x} \right)\left( {8 - x} \right)} \le {x^2
- Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\left( {3{x^2} - 1} \right)^{\frac{1}{3}}}\).
- Số cạnh của hình mười hai mặt đều là
- Cho hình chóp tứ giác đều có góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng \(60^0\).
- Biết rằng phương trình \({{\rm{e}}^x} - {{\rm{e}}^{ - x}} = 2\cos ax\) (\(a\) là tham số) có 3 nghiệm thực phân biệt.
- Cho khối nón có bán kính đáy \(r = \sqrt 3 \) và chiều cao \(h=4\). Tính thể tích V của khối nón đã cho.
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{2\sin x + 3}}{{\sin x + 1}}\)trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là
- Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.ABC\) có \(AB = a,\,\,AA = 2a.\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và AC
- Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy giả sử điểm \(A(a;b)\) thuộc đường thẳng \(d:\,\,x - y - 3 = 0\) và cách \(\
- Một hình trụ có bán kính đáy bằng \(r\) và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
- Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {\fr
- Cho \(a, b\) là các số thực dương thỏa mãn \(b>1\) và \(\sqrt a \le b < a\) .
- Một hình trụ có độ dài đường cao bằng 3, các đường tròn đáy lần lượt là (O;1) và (O;1).
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật OMNP với \(M\left( {0;10} \right),\,\,N\left( {100;10} \right),\,\,P\left( {100;0}
- Tập xác định của \(y = \ln \left( { - {x^2} + 5x - 6} \right)\) là
- Cho \(f\left( x \right) = x.{{\rm{e}}^{ - 3x}}\). Tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) > 0\) là
- Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng \(2a^3\) và đáy ABCD là hình bình hành. Biết diện tích tam giác SAB bằng \(a^2\).
- Đạo hàm của hàm số \(y = {{\rm{e}}^{1 - 2x}}\) là
- Tập nghiệm của bất phương trình \(2{\log _2}\left( {x - 1} \right) \le {\log _2}\left( {5 - x} \right) + 1\) là
- Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + 4x + 2\) đồng biến trên tập xá
