Trường hợp 1:

\(\begin{array}{l}
m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = 3\\
(1) \Leftrightarrow 6x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}
\end{array}\)

Suy ra phương trình (1) có một nghiệm

Trường hợp 2: \(m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 3\)

\(\Delta  = {\left( {m + 3} \right)^2} + 4\left( {m - 3} \right)\left( {m + 1} \right) = 5{m^2} - 2m - 3\)

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 2m - 3 > 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m <  - \frac{3}{5}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - \frac{3}{5}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\backslash 3
\end{array}\)