-
Câu hỏi:
1 ) Cho tam giác ABC có diện tích S và bán kính của đường tròn ngoại tiếp R thỏa mãn hệ thức \(S{\rm{ = }}\frac{2}{3}{R^2}\left( {{{\sin }^3}A + {{\sin }^3}B + {{\sin }^3}C} \right)\). Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
2) Cho \(x, y, z\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 3.\) Chứng minh rằng \(\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \ge \frac{9}{{x + y + z}}.\)
3) Cho đa thức \(P\left( x \right) = {x^{2018}} - m{x^{2016}} + m\) trong đó m là tham số thực. Biết rằng P(x) có 2018 nghiệm thực. Chứng minh rằng tồn tại một nghiệm thực x0 của P(x) thỏa mãn \(\left| {{x_0}} \right| \le \sqrt 2 .\)
Lời giải tham khảo:
1) Theo định lí sin ta có : \({\sin ^3}A = \frac{{{a^3}}}{{8{R^3}}};{\rm{ }}{\sin ^3}B = \frac{{{B^3}}}{{8{R^3}}};{\sin ^3}C = \frac{{{c^3}}}{{8{R^3}}}\)
\(VT{\rm{ = }}\frac{2}{3}{R^2}\left( {\frac{{{a^3}}}{{8{R^3}}} + \frac{{{b^3}}}{{8{R^3}}} + \frac{{{c^3}}}{{8{R^3}}}} \right) = \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{12R}}\)
Áp dụng bắt đẳng thức cô – si ta có: \({a^3} + {b^3} + {c^3} \ge 3abc\)
⇒ \(VT \ge \frac{{abc}}{{4R}}\)
Mà \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\), dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c ⇔ \(\Delta ABC\) đều.
2) Ta có \(\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} = \frac{{{x^2}}}{{xy}} + \frac{{{y^2}}}{{yz}} + \frac{{{z^2}}}{{zx}} \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{xy + yz + zx}}.\)
Ta cần chứng minh: \(\frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{xy + yz + zx}} \ge \frac{9}{{x + y + z}} \Leftrightarrow {\left( {x + y + z} \right)^3} \ge 9\left( {xy + yz + zx} \right)\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{\left( * \right)}
\end{array}\).Đặt \(t = x + y + z,\left( {\sqrt 3 < t \le 3} \right) \Rightarrow xy + yz + zx = \frac{{{t^2} - 3}}{2}.\) BĐT (*) thành \({t^3} \ge \frac{{9\left( {{t^2} - 3} \right)}}{2} \Leftrightarrow {\left( {t - 3} \right)^2}\left( {2t + 3} \right) \ge 0\) (luôn đúng).
3) Ta có \(P\left( { - 1} \right) = 1,P\left( 1 \right) = 1.\) Giả sử các nghiệm thực của P(x) là \({a_1},{a_2},...,{a_{2018}}\), tức là \(P\left( x \right) = \left( {x - {a_1}} \right)\left( {x - {a_2}} \right)...\left( {x - {a_{2018}}} \right).\)
Khi đó, \(P\left( 1 \right) = \left( {1 - {a_1}} \right)\left( {1 - {a_2}} \right)...\left( {1 - {a_{2018}}} \right) = 1\), \(P\left( { - 1} \right) = \left( { - 1 - {a_1}} \right)\left( { - 1 - {a_2}} \right)...\left( { - 1 - {a_{2018}}} \right) = 1\) hay \(P\left( { - 1} \right) = \left( {1 + {a_1}} \right)\left( {1 + {a_2}} \right)...\left( {1 + {a_{2018}}} \right) = 1\)
Suy ra \(P\left( 1 \right).P\left( { - 1} \right) = \left( {1 - a_1^2} \right)\left( {1 - a_2^2} \right)...\left( {1 - a_{2018}^2} \right) = 1.\) Suy ra tồn tại \(k \in \left\{ {1,2,...,2018} \right\}\) sao cho \(a_k^2 - 1 \le 1 \Leftrightarrow \left| {{a_k}} \right| \le \sqrt 2 .\) Hay tồn tại nghiệm \({x_0}: = {a_k}\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {{x_0}} \right| \le \sqrt 2 .\)
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Tìm \(b, c\) để Parabol (P) có đỉnh \(S\left( { - \frac{1}{2}; - \frac{5}{4}} \right)\) biết (P): \(y = {x^2} + bx + c\)
- Tìm m để bất phương trình: \(m{x^2} - 2\left( {m + 3} \right)x + 2m + 14 \ge 0\) vô nghiệm trên tập số thực thực.
- Phân tích vectơ \(\overrightarrow {AN} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {AC} .\) biết tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3
- Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều biết tam giác ABC có diện tích S và bán kính của đường tròn ngoại tiếp R thỏa mãn hệ thức \(S{\rm{ = }}\frac{2}{3}{R^2}\left( {{{\sin }^3}A + {{\sin }^3}B + {{\sin }^3}C} \right)\)