-
Câu hỏi:
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: \(x+y+z=3\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(Q = \frac{{x + 1}}{{1 + {y^2}}} + \frac{{y + 1}}{{1 + {z^2}}} + \frac{{z + 1}}{{1 + {x^2}}}\).
Lời giải tham khảo:
Ta có: 4(2x2 + xy + 2y2) = 5(x+ y)2 + 3(x- y)2 \( \ge \) 5(x+ y)2
Dấu ‘‘ =’’ xảy ra khi x = y
Vì x, y > 0 nên \(\sqrt {2{x^2} + xy + 2{y^2}} \ge \frac{{\sqrt 5 }}{2}(x + y)^2\). Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi x = y
Chứng minh tương tự ta có:
\(\sqrt {2{y^2} + yz + 2{z^2}} \ge \frac{{\sqrt 5 }}{2}(y + z)^2\) . Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi y = z
\(\sqrt {2{z^2} + zx + 2{x^2}} \ge \frac{{\sqrt 5 }}{2}(z + x)^2\) . Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi z = x
Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế, ta được:
\(\sqrt {2{x^2} + xy + 2{y^2}} + \sqrt {2{y^2} + yz + 2{z^2}} + \sqrt {2{z^2} + zx + 2{x^2}} \ge \sqrt 5 (x + y + z)\)
Dấu ‘‘=’’xảy ra khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- 1) Giải phương trình: x2 + 6x + 5 = 02) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} 2x - y = - 6\\ 5x + y = 20 \end{array} \right.\)
- Cho biểu thức P = \(\left( {\frac{{x\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {\sqrt x + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}} \right)\) với x > 0 và x \( \ne \) 1 1. Rút gọn P 2. Tìm giá trị của x để P = 3
- Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : (y = - 2ax - 4a) (với a là tham số)1.Tìm tọa độ giao điểm của ( d) và (P) khi \(a = - \frac{1}{2}\)
- Cho nữa đường tròn tâm O có đường kính PQ = 2R .Vẽ các tiếp tuyến Px, Qy (Px ,Qy và nữa đường tròn cùng thuộc nữa mặt phẳng bờ PQ).Trên nữa đường tròn đã cho lấy điểm M không trùng với P và Q ,tiếp tuyến tại M cắt Px, Qy lần lượt tại E và F.
- Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: (x+y+z=3)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (Q = frac{{x + 1}}{{1 + {y^2}}} +