Đặt 2x=a , 3y=b (a chia hết cho 2, b chia hết cho 3)

Ta có \(ab = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - {{\left( {a - b} \right)}^2}}}{4} = \frac{{2809 - {{\left( {a - b} \right)}^2}}}{4}\)

Do a, b là số tự nhiên mà a+b=53 nên \(a \ne b\), do đó \(\left| {a - b} \right| \ge 1 \Rightarrow {\left( {a - b} \right)^2} \ge 1\). Do vậy \(ab \le \frac{{2809 - 1}}{4} = 702\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}
\left| {a - b} \right| = 1\\
a + b = 53\\
a \vdots 2\,\,;\,\,b \vdots 3
\end{array} \right.\). Giải hệ này ta được a=26, b=27

Vây giá trị lớn nhất của ab là 702, đạt được khi a=26 ; b=27

Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của \(P = \sqrt {xy + 4} \) là 11 khi x=13; y=9