Theo giả thiết AB = AC, BC, AH, AB lập thành cấp số nhân nên ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{q} = \frac{{BC}}{{AH}} = \frac{{2HC}}{{AH}} = 2\cot C\\
\frac{1}{q} = \frac{{AH}}{{AB}} = \sin B
\end{array} \right.\)

Từ đó ta có kết quả sau: 2cotC = sinC ⇔ 2cosC =sin²C = 1-cos²C

⇔ cos²C + 2cosC -1 =0 ⇒cosC = \( - 1 + \sqrt 2 \) (0° < C < 90°)

Do C là góc nhọn nên:

\(\sin C = \sqrt {2\left( {\sqrt 2  - 1} \right)} \)

Cho nên công bội của cấp số nhân là:

\(q = \frac{1}{{\sin C}} = \frac{1}{{\sqrt {2\left( {\sqrt 2  - 1} \right)} }} = \frac{1}{2}\sqrt {2\left( {\sqrt 2  + 1} \right)} \)