Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh \(1\left( m \right)\) như hình: Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng \(x\,\left( m \right)\) sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp. Giá trị của \(x\) để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất là?

Câu hỏi:
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh \(1\left( m \right)\) như hình:

Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng \(x\,\left( m \right)\) sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp. Giá trị của \(x\) để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất là?
- A.
  \(x=\frac{1}{2}.\)
- B.
  \(x=\frac{\sqrt{2}}{4}.\)
- C.
  \(x=\frac{\sqrt{2}}{3}.\)
- D.
  \(x=\frac{2\sqrt{2}}{5}.\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: D

Từ hình vuông ban đầu ta tính được \(OM=\frac{x}{2},\,{{S}_{1}}M={{S}_{1}}O-OM=\frac{\sqrt{2}-x}{2}\). (\)0

Khi gấp thành hình chóp \(S.ABCD\) thì \({{S}_{1}}\equiv S\) nên ta có \(SM={{S}_{1}}M\).

Từ đó \(SO=\sqrt{S{{M}^{2}}-O{{M}^{2}}}=\frac{\sqrt{2-2\sqrt{2}x}}{2}\). (Điều kiện \(0

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\): \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SO=\frac{1}{6}{{x}^{2}}\sqrt{2-2\sqrt{2}x}=\frac{1}{6}\sqrt{2{{x}^{4}}-2\sqrt{2}{{x}^{5}}}\).

Ta thấy \({{V}_{SABCD}}\) lớn nhất khi \(f\left( x \right)=2{{x}^{4}}-2\sqrt{2}{{x}^{5}},\)\)0

Ta có \({f}'\left( x \right)=8{{x}^{3}}-10\sqrt{2}{{x}^{4}}=2{{x}^{3}}\left( 4-5\sqrt{2}x \right)\)

\({f}'\left( x \right)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\frac{2\sqrt{2}}{5} \\ \end{align} \right.\)

Bảng biến thiên

Vậy: \({{V}_{S.ABCD}}\) lớn nhất khi và chỉ khi \(x=\frac{2\sqrt{2}}{5}\).

Chọn D

Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải