Cho lăng trụ đều ABC.ABC có cạnh đáy bằng a, bạnh bên bằng $\sqrt 2 a$. Gọi M là trung điểm AB.

Câu hỏi:
Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, bạnh bên bằng $\sqrt 2 a$. Gọi M là trung điểm AB. Tính diện tích thiết diện cắt lăng trụ đã cho bởi mặt phẳng (A'C'M)
- A.
  $\frac{9}{8}{a^2}$
- B.
  $\frac{{3\sqrt 2 }}{4}{a^2}$
- C.
  $\frac{{3\sqrt {35} }}{{16}}{a^2}$
- D.
  $\frac{{7\sqrt 2 }}{{16}}{a^2}$
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: C

Gọi N là trung điểm của BC ta có MN là đường trung bình của tam giác $ABC \Rightarrow MN//AC$.

Ta có (A'C'M) chứa $A'C'//AC \Rightarrow \left( {A'C'M} \right)$ cắt ABC theo giao tuyến là đường thẳng qua M và song song với $AC \Rightarrow \left( {A'C'M} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN\).

Vậy thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (A'C'M) là tứ giác A'C'NM.

Ta có $MN//AC//A'C' \Rightarrow A'C'NM$ là hình thang.

Xét $\Delta A'AM$ và $\Delta C'CN$ có:

$\begin{array}{l}
A'A = C'C;\angle A'AM = \angle C'CM = {90^0};AM = CN = \frac{a}{2}\\
\Rightarrow \Delta A'AM = \Delta C'CN\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow A'M = C'N
\end{array}$

Dễ dàng nhận thấy A'M và C'N không song song nên A'C'NM là hình thang cân.

Có $A'C' = a;MN = \frac{a}{2}$

Kẻ $MH \bot A'C'\,\,\left( {H \in A'C'} \right);NK \bot A'C'\,\,\left( {K \in A'C'} \right)$ ta có MNKH là

hình chữ nhật $ \Rightarrow MN = HK = \frac{a}{2}$

$ \Rightarrow A'H = C'K = \frac{{A'C' - HK}}{2} = \frac{{a - \frac{a}{2}}}{2} = \frac{a}{4}$

Xét tam giác vuông A'AM có $A'M = \sqrt {A'{A^2} + A{M^2}} = \sqrt {2{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{3a}}{2}$

Xét tam giác vuông A'MH có $MH = \sqrt {A'{M^2} - A'{H^2}} = \frac{{9{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{{16}} = \frac{{a\sqrt {35} }}{4}$

Vậy ${S_{A'C'NM}} = \frac{1}{2}\left( {A'C' + MN} \right).MH = \frac{1}{2}\left( {a + \frac{a}{2}} \right).\frac{{a\sqrt {35} }}{4} = \frac{{3\sqrt {35} {a^2}}}{{16}}$

Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải