-
Câu hỏi:
Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(C\), \(AB=2a\) và góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( AB{C}' \right)\) và \(\left( ABC \right)\) bằng \(60{}^\circ \). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \({A}'{C}'\) và \(BC\). Mặt phẳng \(\left( AMN \right)\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng
-
A.
\(\frac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}\).
-
B.
\(\frac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{6}\).
-
C.
\(\frac{7\sqrt{6}{{a}^{3}}}{24}\).
-
D.
\(\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}\).
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: A
Chọn A
.PNG)
Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\), suy ra \(AB\bot \left( CI{C}' \right)\) nên góc giữa \(\left( {C}'AB \right)\) và \(\left( ABC \right)\) là góc \(\left( CI,{C}'I \right)\), suy ra \(\widehat{{C}'IC}=60{}^\circ \).
Tam giác \({C}'IC\) vuông tại \(C\) nên \({C}'C=CI\cdot \tan \widehat{{C}'IC}=\frac{AB}{2}\cdot \tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \({{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CI={{a}^{2}}\).
Thể tích khối lăng trụ là \(V=C{C}'\cdot {{S}_{ABC}}=a\sqrt{3}\cdot {{a}^{2}}={{a}^{3}}\sqrt{3}\).
Trong \(\left( AC{C}'{A}' \right)\), kéo dài \(AM\) cắt \(C{C}'\) tại \(O\).
Suy ra \({C}'M\) là đường trung bình của \(\Delta OAC\), do đó \(OC=2C{C}'=2a\sqrt{3}\).
Thể tích khối chóp \({{V}_{O.ACN}}=\frac{1}{3}\cdot {{S}_{ACN}}\cdot OC=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot {{S}_{ABC}}\cdot 2C{C}'=\frac{1}{3}V\).
Thể tích khối chóp \({{V}_{O.{C}'ME}}=\frac{1}{3}\cdot {{S}_{{C}'ME}}\cdot O{C}'=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{8}{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}\cdot O{C}'=\frac{1}{24}V\).
Do đó \({{V}_{{C}'EM.CAN}}={{V}_{O.ACN}}-{{V}_{O.{C}'ME}}=\frac{1}{3}V-\frac{1}{24}V=\frac{7}{24}V=\frac{7}{24}\cdot {{a}^{3}}\sqrt{3}=\frac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}\).
Vậy phần thể tích nhỏ hơn là \({{V}_{{C}'EM.CAN}}=\frac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}\).
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Có bao nhiêu cách chọn ra hai học sinh gồm nam và nữ từ nhóm \(10\) học sinh gồm \(4\) nam và \(6\) nữ?
- Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có số hạng đầu \({{u}_{1}}=2\) và số hạng thứ tư \({{u}_{4}}=17\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
- Nghiệm của phương trình \({{\log }_{2}}\left( x-1 \right)=4\) là
- Tập xác định của hàm số \(y={{\left( 2-x \right)}^{\frac{1}{2}}}\)là
- Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng \(B=3\) và chiều cao \(h=4\).
- Cho hình trụ có bán kính \(r=2\) và chiều cao \(h=3\). Diện tích xung quanh của hình trụ này bằng
- Cho khối cầu có bán kính \(R=6\). Thể tích khối cầu bằng
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau: Hàm số
- Với \(a,b\) là các số thực dương tùy ý, \(\log \left( {{a}^{5}}{{b}^{10}} \right)\)bằng
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\)
- Đồ thị của hàm số nào sau đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
- Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{x}{x-1}\), là
- Tập nghiệm của bất phương trình \({{5}^{2x+1}}\le 25\) là
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị là đường cong như hình
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\), \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 0;\,2 \right]\)
- Cho các số phức \(z=2+i\) và \(\omega =3-2i\). Phần ảo của số phức \(z+2\omega \) bằng
- Cho số phức \(z=2i+1\). Điểm nào sau đây là điểm biểu diễn của số phức \(z\) trên mặt phẳng tọa độ?
- Trong không gian \(Oxyz,\) hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( 3;\,1;\,2 \right)\) lên trục \(Oy\) là điểm
- Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+1=0\). Tính diện tích của mặt cầu \((S)\)
- Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x+y-z+3=0\).
- Cho số phức \(z=2+i\). Mô đun của số phức \(\text{w}=\overline{z}+3z\) bằng
- Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\), \(SA=1\)
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \({f}'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( x-1 \right),\forall x\in \mathbb{R}\). Phát biểu nào sau đây là đúng?
- Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}-2x+1}{x+2}\) trên đoạn \(\left[ 0\,;\,3 \right]\) bằng
- Biết rằng \({{\log }_{3}}4=a\) và \(T={{\log }_{12}}18\). Phát biểu nào sau đây là đúng?
- Tập nghiệm của bất phương trình \(\log _{2}^{2}\left( 2x \right)+1\le {{\log }_{2}}\left( {{x}^{5}} \right)\)là
- Xét tích phân \(I=\int_{0}^{1}{{{e}^{\sqrt{2x+1}}}\text{d}x}\), nếu đặt \(u=\sqrt{2x+1}\)thì \(I\) bằng
- Gọi \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị \(y={{x}^{2}}-2x\), \(y=0\)
- Cho \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) là các nghiệm phức phân biệt của phương trình \({{z}^{2}}-4z+13=0\).
- Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\), cạnh bên bằng \(3a\).
- Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( 1;1;-2 \right)\); \(B\left( 2;0;3 \right)\); \(C\left( -2;4;1 \right)\).
- Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( 1;1;-2 \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-2}\).
- Cho hàm số \({y=x^{3}-3 m x^{2}+12 x+3 m-7}\) với \({m}\) là tham số
- Tập xác định của hàm số \({y=\sqrt{\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}+7 x\right)+3}}\) là
- Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {{z}^{2}}-2z+7 \right)\left( z-2{{\overline{z}}^{2}} \right)=0\)?
- Có 6 học sinh gồm 2 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang.
- Cho hình trụ có bán kính đáy bằng \(a\sqrt{3}\). Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục,
- Cho hình tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AD\).
- Biết rằng đồ thị \((H):y=\frac{{{x}^{2}}+2x+m}{x-2}\) có hai điểm cực trị \(A,B\). Hãy tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \(AB\)
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=\frac{2}{3}\)
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\).
- Xét hàm số \(f\left( x \right)=\left| \frac{mx-2\sqrt{x+4}}{2x+4} \right|\) với \(m\) là tham số thực.
- Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\log _{3}^{2}x-m{{\log }_{9}}{{x}^{2}}+2-m=0\) có nghiệm \(x\in \left[ 1;9 \right]\).
- Trong không gian với hệ tọa độ \({O x y z}\), cho tam giác \({A B C}\) có \({A B=2 A C}\) và điểm \(M(2 ; 0 ; 4)\).
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị \({f}'\left( x \right)\) như hình vẽ.
- Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S):(x+2)^{2}+y^{2}+(z+5)^{2}=24\) cắt mặt phẳng
- Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(C\),
- Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\). Biết hàm số \(y={f}'\left( 1+x \right)\) có đồ thị như trong hình bên.
- Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z+1 \right|\ge 1\). Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
- Có bao nhiêu bộ \(\left( x;y \right)\) với \(x,y\) nguyên và \(1\le x,y\le 2020\) thỏa mãn
