Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y=\left| {{x}^{2}}-1 \right|\) và y=k,0<k<1. Tìm k để diện tích của hình phẳng \(\left( H \right)\) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên. Khi đó k nhận giá trị nào dưới đây?

Câu hỏi:
Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y=\left| {{x}^{2}}-1 \right|\) và y=k,0<k<1. Tìm k để diện tích của hình phẳng \(\left( H \right)\) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên. Khi đó k nhận giá trị nào dưới đây?
- A.
  \(k = \sqrt[3]{4}\)
- B.
  \(k = \sqrt[3]{2} - 1\)
- C.
  \(k = \frac{1}{2}\)
- D.
  \(k = \sqrt[3]{4} - 1.\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: D
Do đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng nên yêu cầu bài toán trở thành:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y=1-{{x}^{2}},y=k,x=0\) bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi : \(y=1-{{x}^{2}},y={{x}^{2}}-1,y=k,x>0.\)

\(\begin{align} & \int\limits_{0}^{\sqrt{1-k}}{\left( 1-{{x}^{2}}-k \right)}\text{d}x= \\ & \int\limits_{\sqrt{1-k}}^{1}{\left( k-1+{{x}^{2}} \right)}\text{d}x+\int\limits_{1}^{\sqrt{1+k}}{\left( k-{{x}^{2}}+1 \right)}\text{d}x. \\ \end{align}\)

\(\begin{align} & \Leftrightarrow \left( 1-k \right)\sqrt{1-k}-\frac{1}{3}\left( 1-k \right)\sqrt{1-k} \\ & =\frac{1}{3}-\left( 1-k \right)-\frac{1}{3}\left( 1-k \right)\sqrt{1-k}+\left( 1-k \right)\sqrt{1-k} \\ & +\left( 1+k \right)\sqrt{1+k}-\frac{1}{3}\left( 1+k \right)\sqrt{1+k}-\left( 1+k \right)+\frac{1}{3} \\ \end{align}\)

\(\Leftrightarrow \frac{2}{3}\left( 1+k \right)\sqrt{1+k}=\frac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{1+k} \right)}^{3}}=2\)

\(\Leftrightarrow k=\sqrt[3]{4}-1.\)

Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải