Cho hình hộp ABCD.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AA, BC, CD.

Câu hỏi:
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AA', BC, CD. Mặt phẳng (MNP) chia khối hộp thành hai phần có thể tích là \(V_1, V_2\). Gọi \(V_1\) là thể tích phần chứa điểm C. Tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) bằng
- A.
  \(\frac{{119}}{{25}}\)
- B.
  \(\frac{3}{4}\)
- C.
  \(\frac{{113}}{{24}}\)
- D.
  \(\frac{{119}}{{425}}\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: A

Trong (ABCD), gọi \(I = NP \cap AB,K = NP \cap AD\)

Trong (ABB’A), gọi \(E = IM \cap BB'\)

Trong (ADD’A’), gọi \(F = KM \cap DD'\)

Thiết diện của hình hộp cắt bởi (MNP) là ngũ giác MENPF.

Ta có: \(\Delta INB = \Delta PNC \Rightarrow IN = NP\), tương trự:

\(\begin{array}{l}
KP = NP \Rightarrow IN = KP = NP\\
\Rightarrow \frac{{IN}}{{IK}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{IN}}{{IK}} = \frac{{BE}}{{AM}} = \frac{{IB}}{{IA}} = \frac{1}{3}\\
\Rightarrow \frac{{{V_{E.IBN}}}}{{{V_{M.IAK}}}} = \frac{1}{{27}}
\end{array}\)

Tương tự: \(\frac{{{V_{F.DPK}}}}{{{V_{M.IAK}}}} = \frac{1}{{27}} \Rightarrow \frac{{{V_2}}}{{{V_{M.IAK}}}} = 1 - \frac{1}{{27}} - \frac{1}{{27}} = \frac{{25}}{{27}} \Rightarrow {V_2} = \frac{{25}}{{27}}{V_{M.IAK}}\)

Ta có: \(\Delta IAK\) đồng dạng \(\Delta NCP\) với tỉ số đồng dạng là 3 \( \Rightarrow {S_{\Delta AIK}} = 9.{S_{\Delta NCP}}\)

Mà \({S_{\Delta NCP}} = \frac{1}{4}.\frac{1}{2}.{S_{ABCD}} = \frac{1}{8}{S_{ABCD}}\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta AIK}} = \frac{9}{8}{S_{ABCD}}\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}
{V_{M.IAK}} = \frac{1}{2}.\frac{9}{8}.{V_{A'.ABCD}} = \frac{1}{2}.\frac{9}{8}.\frac{1}{3}.{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{3}{{16}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\\
\Rightarrow {V_2} = \frac{{25}}{{27}}{V_{M.IAK}} = \frac{{25}}{{27}}.\frac{3}{{16}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{{25}}{{144}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\\
\Rightarrow {V_1} = \frac{{119}}{{144}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{119}}{{25}}
\end{array}\)

Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải