Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\) và \(SA\)

Câu hỏi:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho \(SC=a\), mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) tạo với mặt đáy một góc \(\alpha \). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) đạt giá trị lớn nhất là
- A.
  \(\frac{{{a}^{3}}}{16}\).
- B.
  \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{27}\).
- C.
  \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}\).
- D.
  \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}\).
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: B
Chọn B

Ta có \(\widehat{\left( \left( SBC \right),\left( ABC \right) \right)}=\left( \widehat{SC,AC} \right)=\widehat{SCA}=\alpha \)

Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\) có

\(\left\{ \begin{align} & SA=SC.\sin \alpha =a\sin \alpha \\ & AC=SC.\cos \alpha =a\cos \alpha \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SA\)\( =\frac{1}{3}.\left( \frac{1}{2}A{{C}^{2}} \right).SA\)

\(=\frac{1}{6}.{{\left( a\cos \alpha \right)}^{2}}.a\sin \alpha \)\( =\frac{{{a}^{3}}}{6}{{\cos }^{2}}\alpha .\sin \alpha .\)

\({{V}_{S.ABC}}\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi biểu thức

\(P={{\cos }^{2}}\alpha .\sin \alpha .=\left( 1-{{\sin }^{2}}\alpha \right).\sin \alpha \) đạt giá trị lớn nhất.

Đặt \(t=\sin \alpha \).

Vì \(0<\alpha <90{}^\circ \) nên \(0<\sin \alpha <1\)

\(\Rightarrow 0<t<1\)

Ta có \(P=f\left( t \right)=\left( 1-{{t}^{2}} \right)t=-{{t}^{3}}+t\) xác định và liên tục trên \(\left( 0;1 \right)\).

\({f}'\left( t \right)=-3{{t}^{2}}+1\)\( \Rightarrow {f}'\left( t \right)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=\frac{\sqrt{3}}{3}\text{ (nhan)} \\ & t=-\frac{\sqrt{3}}{3}\text{ (loai) } \\ \end{align} \right.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(\underset{\left( 0;1 \right)}{\mathop{\max f\left( t \right)}}\,=\frac{2\sqrt{3}}{9}\) khi \(t=\frac{\sqrt{3}}{3}\).

Vậy \(\max {{V}_{S.ABC}}=\frac{{{a}^{3}}}{6}.{{P}_{\max }}\)\( =\frac{{{a}^{3}}}{6}.\frac{2\sqrt{3}}{9}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{27}\) khi và chỉ khi \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}\).

Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải