Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ { - 1;5} \right]\) như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(f\left( {3\sin x + 2} \right) = m\) có đúng 3 nghiệm phân biệt trên khoảng \(\left( {

Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ { - 1;5} \right]\) như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(f\left( {3\sin x + 2} \right) = m\) có đúng 3 nghiệm phân biệt trên khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\)?
- A.
  7
- B.
  4
- C.
  6
- D.
  5
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: D
Đặt \(\sin x = t\) (\( - 1 \le t \le 1 \Rightarrow - 1 \le 3t + 2 \le 5\)).

Phương trình đã cho có đúng \(3\) nghiệm phân biệt thuộc khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\) \( \Leftrightarrow \) phương trình \(f\left( {3t + 2} \right) = m\) có đúng hai nghiệm \({t_1},{t_2}\) thỏa mãn \( - 1 < {t_1} \le 0 < {t_2} < 1\) hoặc \(0 < {t_2} < 1 = {t_1}\).

Đặt \(u = 3t + 2\left( { - 1 \le u \le 5} \right)\) thì bài toán trở thành tìm \(m\) để phương trình \(f\left( u \right) = m\) có có đúng hai nghiệm thỏa mãn \( - 1 < {u_1} \le 2 < {u_2} < 5\) hoặc \(2 < {u_2} < 5 = {u_1}\).

+) TH1: Phương trình \(f\left( u \right) = m\) có đúng hai nghiệm thỏa mãn \( - 1 < {u_1} \le 2 < {u_2} < 5\).

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \( - 1 < m < 4\).

+) TH2: Phương trình \(f\left( u \right) = m\) có đúng hai nghiệm thỏa mãn \(2 < {u_2} < 5 = {u_1}\).

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(4 < m \le 5\).

Do đó \(m \in \left( { - 1;4} \right) \cup \left( {4;5} \right]\). Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {0;1;2;3;5} \right\}\) và có \(5\) giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Chọn D.

Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải