Xuất phát từ hai công thức: \({\left| z \right|^2} = z.\bar z\) và \(\overline {a.{z_1} + b.{z_2}}  = a.{\bar z_1} + b.{\bar z_2}\)

Ta có: \(\left| {z + 2w} \right| = 3 \Leftrightarrow {\left| {z + 2w} \right|^2} = 9 \Leftrightarrow \left( {z + 2w} \right),\left( {\bar z + 2\bar w} \right) = 9\)

\( \Leftrightarrow z.\bar z + 2\left( {z.\bar w + \bar z.w} \right) + 4w.\bar w = 9 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} + 4.{\left| w \right|^2} + 2P = 9\)

Tương tự, với \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {2z + 3w} \right| = 6 \Leftrightarrow \left( {2z + 3w} \right)\left( {2\bar z + 3\bar w} \right) = 36 \Leftrightarrow 4.{\left| z \right|^2} + 9.{\left| w \right|^2} + 6P = 36\\\left| {z + 4w} \right| = 7 \Leftrightarrow \left( {z + 4w} \right)\left( {\bar z + 4\bar w} \right) = 49 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} + 16.{\left| w \right|^2} + 4P = 49\end{array} \right.\)

Vậy, ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\left| z \right|^2} + 4.{\left| w \right|^2} + 2P = 9\\4.{\left| z \right|^2} + 9.{\left| w \right|^2} + 6P = 36\\{\left| z \right|^2} + 16.{\left| w \right|^2} + 4P = 49\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left| z \right|^2} = 33\\{\left| w \right|^2} = 8\\P =  - 28\end{array} \right..\)