Cho hai hàm số \(y={{a}^{x}},y={{b}^{x}}(a,b\) là các số dương khác 1) có đồ thị là \(\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)\) như hình vẽ. Vẽ đường thẳng \(y=c\left( c>1 \right)\) cắt trục tung và \(\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)\) lần lượt tại \(M,N,P. \) Biết rằng \({{S}_{OMN}}=3{{S}_{ONP}}. \) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

Câu hỏi:
Cho hai hàm số \(y={{a}^{x}},y={{b}^{x}}(a,b\) là các số dương khác 1) có đồ thị là \(\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)\) như hình vẽ. Vẽ đường thẳng \(y=c\left( c>1 \right)\) cắt trục tung và \(\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)\) lần lượt tại \(M,N,P. \) Biết rằng \({{S}_{OMN}}=3{{S}_{ONP}}. \) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
- A.
  \(a=3\sqrt{b}. \)
- B.
  \({{a}^{3}}={{b}^{2}}. \)
- C.
  \(b=a\sqrt{3}. \)
- D.
  \({{a}^{3}}={{b}^{4}}. \)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: D

Vì \({{S}_{OMN}}=3{{S}_{ONP}}\) nên: \({{S}_{OMN}}=\frac{3}{4}{{S}_{OMP\text{ }}}\left( 1 \right)\)

Đường thẳng \(y=c\) cắt \(\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)\) lần lượt tại hai điểm \(N,P\) có hoành độ: \({{x}_{N}}=\log _{a}^{c},{{x}_{P}}=\log _{b}^{c}\)

Từ đó ta có:

\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\log _{c}^{a}}{\left( c-{{a}^{x}} \right)dx}=\frac{3}{4}\int\limits_{0}^{\log _{b}^{c}}{\left( c-{{b}^{x}} \right)dx}\)

\(\Leftrightarrow c\log _{a}^{c}-\left( \frac{{{a}^{\log _{a}^{c}}}}{\ln a}-\frac{1}{\ln a} \right)=\frac{3}{4}\left( c\log _{b}^{c}-\left( \frac{{{b}^{\log _{b}^{c}}}}{\ln b}-\frac{1}{\ln b} \right) \right)\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{\ln a}=\frac{3}{4}.\frac{1}{\ln b}\Leftrightarrow 4.\ln b=3\ln a\Leftrightarrow {{b}^{4}}={{a}^{3}}\).

Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải