OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE
  • Câu hỏi:

    Cho hai đường thẳng cố định ab chéo nhau. Gọi AB là đoạn vuông góc chung của ab (A thuộc a, B thuộc b). Trên a lấy điểm M (khác A), trên b lấy điểm N (khác B) sao cho AM = x,BN = y,x + y = 8. Biết AB = 6, góc giữa hai đường thẳng ab bằng 60°. Khi thể tích khối tứ diện ABNM đạt giá trị lớn nhất hãy tính độ dài đoạn MN (trong trường hợp MN >  8).

    • A. 
      \(2\sqrt {21} \)
    • B. 
      12
    • C. 
      \(2\sqrt {39} \)
    • D. 
      13

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: A

    Dựng hình chữ nhật ABNC.

    \(\left( {\widehat {AM,BN}} \right) = \left( {\widehat {AM,AC}} \right) = 60^\circ \) 

    Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
    AB \bot AM\\
    AB \bot BN
    \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    AB \bot AM\\
    AB \bot AC
    \end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {ACM} \right)\) 

    \({V_{ABNM}} = {V_{MABC}} = \frac{1}{3}AB.{S_{ACM}} = \frac{1}{6}AB.AC.AM\sin \widehat {CAM} = \frac{1}{6}.6.x.y.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}xy\) 

    \({V_{ABNM}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}xy \le \frac{{\sqrt 3 }}{2}\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = 8\sqrt 3 \). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 4.

    Khi đó AM = BN = AC = 4 

    Lại có \(AB//CN \Rightarrow CN \bot \left( {AMC} \right) \Rightarrow CN \bot CM \Rightarrow M{N^2} = C{M^2} + C{N^2}\) 

    Mặt khác \(\widehat {MAC} = 60^\circ \) hoặc \(\widehat {MAC} = 120^\circ \) 

    Trường hợp 1: \(\widehat {MAC} = 60^\circ  \Rightarrow \) \(\Delta AMC\) đều \( \Rightarrow CM = 4 \Rightarrow MN = \sqrt {{4^2} + {6^2}}  = 2\sqrt {13} \) 

    Trường hợp 2: \(\widehat {MAC} = 120^\circ \) 

    \( \Rightarrow CM = \sqrt {A{M^2} + A{C^2} - 2AM.AC\cos 120^\circ }  = \sqrt {48}  \Rightarrow MN = \sqrt {48 + {6^2}}  = 2\sqrt {41} \) 

    Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

ADSENSE/
QUẢNG CÁO
 

 

CÂU HỎI KHÁC

NONE
OFF