-
Câu hỏi:
Cho các số thực a, b thỏa mãn \(a > 1,b > 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{27}}{2}{\left( {2.{{\log }_{ab}}a + {{\log }_{ab}}b} \right)^2} + 4{\log _a}ab\).
-
A.
\({P_{\min }} = 36.\)
-
B.
\({P_{\min }} = 24.\)
-
C.
\({P_{\min }} = 32.\)
-
D.
\({P_{\min }} = 48.\)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: A
Ta có \(P = \frac{{27}}{2}{\left( {2.{{\log }_{ab}}a + {{\log }_{ab}}b} \right)^2} + 4{\log _a}ab = \frac{{27}}{2}{\left( {\frac{2}{{{{\log }_a}ab}} + \frac{1}{{{{\log }_b}ab}}} \right)^2} + 4.{\log _a}b + 4\).
Đặt \(t = {\log _a}b\left( {t > 0} \right) \Leftrightarrow {\log _b}a = \frac{1}{t}\), khi đó
\(P = \frac{{27}}{2}.{\left( {\frac{2}{{t + 1}} + \frac{t}{{t + 1}}} \right)^2} + 4t + 4 = \frac{{27}}{2}.{\left( {\frac{{t + 2}}{{t + 1}}} \right)^2} + 4t + 4\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{27}}{2}.{\left( {\frac{{t + 2}}{{t + 1}}} \right)^2} + 4t\) với \(t \in \left( {0; + \infty } \right)\), ta có
\(f'\left( t \right) = \frac{{\left( {t - 2} \right){{\left( {2t + 5} \right)}^2}}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^3}}};f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2\). Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng \(f(t)\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(f\left( 2 \right) = 32 \Rightarrow {P_{\min }} = 36\).
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Cho hàm số \(y = {x^3} - 4{x^2} + 5x - 2\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
- Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - mx - 4\) đồng biến trên khoảng \(\left( {
- Cho hàm số \(y = 3{x^4} - 8{x^3} - 6{x^2} + 24x + 1\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 2m{{\rm{x}}^2} + {m^2}x + 2\) đạt cực tiểu tại
- Tìm \(m\) để hàm số \(y = m{x^4} + 2\left( {m - 1} \right){x^2} + 2\) có hai cực tiểu và một cực đại.
- Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 35\) trên đoạn \(\left[ { - 5;2} \rig
- Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x.{\cos ^6}x\) là
- Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\) trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\).
- Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{3 - x}}{{{x^2} - 2}}\) có đồ thị (C). Khẳng định nào sau đây là đúng?
- Tìm m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2mx + 3m + 4}}\) có đúng một đường tiệm cận đứng.
- Xác định các hệ số \(a,\,\,b,\,\,c\) để hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị như hình bên dưới?
- Cho hàm số: \(\left( C \right):y = 2{x^3} - 6{x^2} + 3\). Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất là
- Đường thẳng \(y = - 2x + 2\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 5{x^2} + 7x - 3\) tại điểm có tung độ là
- Cho \({\left( {a - 1} \right)^{\frac{{ - 2}}{3}}} \le {\left( {a - 1} \right)^{\frac{{ - 1}}{3}}}\).
- Cho biểu thức \(P = \sqrt[3]{{x\sqrt[4]{{{x^2}\sqrt {{x^3}} }}}}\) với x > 0. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
- Cho a là số thực dương, \(a \ne 1\) và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- Đặt \({\log _3}5 = a.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
- Cho các số thực a, b thỏa mãn \(a > 1,b > 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{27}}{2}{\left( {2.
- Tìm tập xác định của hàm số (fleft( x ight) = sqrt {{{log }_2}frac{{3 - 2x - {x^2}}}{{x + 1}}} )
- Tính đạo hàm của hàm số sau: \(f\left( x \right) = \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}}\).
- Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x.l{n^2}\left( {1 - x} \right)\) là
- Tập xác định của hàm số \(y = \ln \frac{{{{\left( {2x - 5} \right)}^3}{{\left( {x - 7} \right)}^2}}}{{12 - x}}\) chứa bao nhiêu số ngu
- Giải bất phương trình: \({\log _3}{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 1} \right) < 1\).
- Nghiệm của phương trình \(3\sqrt {{{\log }_3}x} - {\log _3}3x - 1 = 0\) là
- Tìm tập nghiệm của phương trình \({\left( {\sqrt 2 } \right)^{x\left( {x + 3} \right)}} = 4\).
- Cho hình đa diện đều loại \(\left\{ {4;3} \right\}\) cạnh \(a\).
- Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = 2a, OC = 3a, OC = 8a .
- Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, BD=2a
- Tính thể tích V của khối chóp S.ABC có độ dài các cạnh \(SA = BC = 5a,\,\,SB = AC = 6a\) và \(SC = AB = 7a.\)
- Một hình nón có bán kính đáy là \(5a\), độ dài đường sinh là \(13a\) thì đường cao của hình nón là?
- Cho khối nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân và đường sinh có độ dài bằng \(a\).
- Cho hình nón đỉnh S. Xét hình chóp S.
- Cho hình vuông ABCD quay quanh cạnh AB tạo ra hình trụ có độ dài của đường tròn đáy bằng \(4\pi a.
- Hình trụ có bán kính đáy bằng \(a\), chu vi của thiết diện qua trục bằng \(10a\).
- Cho khối trụ (T) có bán kính đáy bằng \(R\) và diện tích toàn phần bằng \(8\pi {R^2}\).
- Cho hình trụ có tính chất: Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi
- Cho số thực \(a\) dương khác 1. Giá trị của biểu thức \({\log _{\frac{1}{a}}}\sqrt[3]{{{a^7}}}\) bằng
- Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có tất cả các cạnh bằng \(2a\).
- Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x - 6\) có đúng hai điểm cự
- Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị (C) như hình bên.
