Đặt \({{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i \left( {{x}_{1}},{{y}_{1}}\in \mathbb{R} \right)\)

\(\left| {{z}_{1}}+1-4i \right|=2\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-4 \right)}^{2}}=4\)

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức \({{z}_{1}}\) là đường tròn \(\left( {{C}_{1}} \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=4\) có tâm \({{I}_{1}}\left( -1\,;4 \right)\), bán kính \({{R}_{1}}=2\)

Đặt \({{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i \left( {{x}_{2}},{{y}_{2}}\in \mathbb{R} \right)\)

\(\left| {{z}_{2}}-4-6i \right|=1\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{2}}-4 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-6 \right)}^{2}}=1\).

Vậy tập hợp điểm N biểu diễn số phức \({{z}_{2}}\)  là đường tròn \(\left( {{C}_{2}} \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=1\) có tâm \({{I}_{2}}\left( 4\,;6 \right)\), bán kính \({{R}_{2}}=1\)

Đặt \({{z}_{3}}={{x}_{3}}+{{y}_{3}}i \left( {{x}_{3}},{{y}_{3}}\in \mathbb{R} \right)\).

\(\left| {{z}_{3}}-1 \right|=\left| {{z}_{3}}-2+i \right|\Leftrightarrow {{x}_{3}}-{{y}_{3}}-2=0\).

Vậy tập hợp điểm A biểu diễn số phức \({{z}_{3}}\) là đường thẳng d:x-y-2=0.

Khi đó: \(P=\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{3}}-{{z}_{2}} \right|=AM+AN\)

Mặt khác, \(d\left( {{I}_{1}},d\, \right)=\frac{\sqrt{14}}{2}>{{R}_{1}}\,;\,\,d\left( {{I}_{2}},d\, \right)=2\sqrt{2}>{{R}_{2}}\) và \({{I}_{1}},\,{{I}_{2}}\) nằm cùng phía đối với d.

Gọi \(\left( {{{{C}'}}_{2}} \right)\) là đường tròn đối xứng với với \(\left( {{C}_{2}} \right)\) qua d, suy ra \(\left( {{{{C}'}}_{2}} \right):{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=1\) và gọi \({N}'\) là điểm đối xứng với N qua d. \(\left( {{{{C}'}}_{2}} \right)\) có tâm \({{{I}'}_{2}}\left( 8\,;2 \right)\), bán kính \({{{R}'}_{2}}=1\).

Ta có:

\(AM+M{{I}_{1}}\ge A{{I}_{1}}\Rightarrow AM\ge A{{I}_{1}}-M{{I}_{1}}=A{{I}_{1}}-2\).

\(AN+N{{I}_{2}}=A{N}'+{N}'{{{I}'}_{2}}\ge A{{{I}'}_{2}}\Rightarrow A{N}'\ge A{{{I}'}_{2}}-{N}'{{{I}'}_{2}}=A{{{I}'}_{2}}-1\).

Suy ra \(P=AM+AN=AM+A{N}'\ge A{{I}_{1}}+A{{{I}'}_{2}}-3\ge {{I}_{1}}{{{I}'}_{2}}-3=\sqrt{85}-3\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 điểm \({{I}_{1}},\,A,\,{{{I}'}_{2}}\) thẳng hàng.

Vậy \(\min P=\sqrt{85}-3\).