-
Câu hỏi:
Cho các số không âm \(a,\ b,\ c\) thỏa mãn \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(S=\frac{a}{2+bc}+\frac{b}{2+ac}+\frac{c}{2+ab}.\)
-
A.
3
-
B.
4
-
C.
1
-
D.
2
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: C
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có:
\(\begin{array}{l}a + b + c = a.1 + \left( {b + c} \right).1 \le \frac{{{a^2} + 1}}{2} + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2} + 1}}{2}\\ = \frac{{{a^2} + 1 + {b^2} + 2bc + {c^2} + 1}}{2} = \frac{{2bc + 4}}{2} = bc + 2\,\,\,\left( {do\,\,\,{a^2} + {b^2} + {c^2} = 2} \right)\\ \Rightarrow \frac{a}{{bc + 2}} \le \frac{a}{{a + b + c}}.\end{array}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{b}{{ac + 2}} \le \frac{b}{{a + b + c}}\\\frac{c}{{ab + 2}} \le \frac{c}{{a + b + c}}\end{array} \right..\)
\( \Rightarrow S \le \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1.\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b + c = 1\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\c = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 1\\c = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right..\)
Vậy \(Max\,S = 1\) khi \(\left( {a;\,\,b;\,\,c} \right) = \left\{ {\left( {1;\,1;\,0} \right);\,\,\left( {1;\,0;\,1} \right)} \right\}.\)
Chọn C
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Giải phương trình: \(\left( {\sqrt {x + 5} - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt {{x^2} + 5x} } \right) = 5.\)
- Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 7 = 4{y^2} + 4y\\{x^2} + 3xy + 2{y^2} + x + y = 0\end{array} \right..\)
- Giải phương trình: \(\frac{{x + 1}}{2} - 1 = 0\).
- Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\\{x^2} + y = 5\end{array} \right.\).
- Trước khi tiến hành, xưởng được bổ sung thêm 5 công nhân, nên số giỏ tre phải làm của mỗi người giảm 3 cái so với dự định. Hỏi lúc dự định, xưởng có bao nhiêu công nhân ? Biết năng suất làm việc của mỗi người là như nhau.
- Đường thẳng OK cắt AB tại F. Tính tỉ số diện tích \(\frac{{{S}_{\Delta BEF}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}\).
- Nếu tăng chiều rộng \(2m\) và giảm chiều dài \(6m\) thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính chu vi của mảnh đất lúc đầu.
- Thực hiện phép tính: \(\left( {\sqrt 3 + 1} \right).\frac{{\sqrt 3 - 3}}{{2\sqrt 3 }}.\)
- Lập phương trình đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) song song với \(\left( d \right)\) và cắt \(\left( P \right)\) tại điểm \(M\) có hoành độ bằng \(2.\)
- Rút gọn biểu thức sau: \(A = \left( {1 - \frac{{2\sqrt x }}{{3\sqrt x + 1}} - \frac{{1 - 2\sqrt x }}{{1 - 9x}}} \right):\left( {\frac{{6\sqrt x + 5}}{{3\sqrt x + 1}} - 2} \right)\;\;\;\left( {x \ge 0,\;\;x \ne \frac{1}{9}} \right).\)
- Một tam giác vuông có chu vi là bằng 24 cm. Độ dài hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2 cm. Tính diện tích tam giác vuông đó.
- Cho hình nón có bán kính đáy là bằng 3m, diện tích toàn phần bằng \(24\pi \,\,{m^2}\). Tính thể tích của hình nón.
- Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau \(T = 3{x^2} + 4{y^2} + 4xy + 2x - 4y + 2021\)
- Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , nội tiếp đường tròn (O). Phát biểu nào sau đây là đúng:
- Cho (O;R) và đường thẳng a, gọi d là khoảng cách từ O đến a. Phát biểu nào sau đây là sai:
- Cho biết điều kiện để biểu thức sau \(\sqrt{4-2x}\) xác định là:
- Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho biết đồ thị hàm số \(y=-2x+4\) cắt trục hoành tại điểm
- Gọi \(S\) là diện tích hình tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(C\) là chu vi của đường tròn \(\left( {O;R} \right).\) Khi đó
- Người ta cần sử dụng đoạn dây dài bao nhiêu mét để đủ uốn thành hình tròn có bán kính 15m.
- Vận tốc của ô tô thứ nhất và thứ hai lần lượt là:
- Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\3x - y = 8\end{array} \right.\) , cặp nghiệm của hệ phương trình đó là:
- Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m – 4\) , với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm trái dấu?
- Gọi α và β lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung nhỏ. Phát biểu nào đúng?
- Hãy cho biết góc ở tâm là góc có đặc điểm sau
- Cho \(a,b,c\in \mathbb{R}\) sao cho \(a>b.\) Khi đó bất đẳng thức đúng là:
- Giá trị nhỏ nhất của \(P=\frac{x}{3}+\frac{27}{x},\,\,x\ge 12\) là:
- Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Biết \(BC = 10cm,\;\;AC = 8cm.\) Tính cạnh \(AB.\)
- Cho \(\sqrt{13-4\sqrt{3}}=a\sqrt{3}+b,\ \ \) với \(a,\ b\) là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức \(T={{a}^{3}}+{{b}^{3}}.\)
- Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định cho sau:
- Gọi \({{x}_{1}},\ {{x}_{2}}\) là các nghiệm của phương trình \({{x}^{2}}+2ax-3\sqrt{2}=0,\) với \(a\) là số thực tùy ý. Tính giá trị của biểu thức \(T=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\) theo \(a.\)
- Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\) để phương trình \({{x}^{2}}-2\sqrt{3}x+m-3=0\) có hai nghiệm phân biệt?
- Giả sử \(\left\{ \begin{align} & x=a \\ & y=b \\\end{align} \right.\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & 2\sqrt{3}x-3\sqrt{3}y=-3 \\ & 2x+y=3\sqrt{3} \\\end{align} \right..\) Tính giá trị của biểu thức \(P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}.\)
- Giả sử đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt. Chọn khẳng định đúng.
- Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và \(AB=2\sqrt{5},\ \ AC=5\sqrt{3}.\) Kẻ \(AK\bot BC,\) với \(K\in BC.\) Tính \(AK\) theo \(a.\)
- Cho đường tròn tâm \(O,\) bán kính \(r=1,\) và \(\left( O \right)\) nội tiếp trong tam giác \(ABC.\) Giả sử diện tích của tam giác \(ABC\) bằng \(3.\) Tính chu vi \(c\) của tam giác \(ABC.\)
- Giả sử mỗi \({{m}^{2}}\) tốn chi phí \(500\) ngàn đồng. Tính số tiền để lát nền sân vườn này (làm tròn đến hàng nghìn).
- Một hình chữ nhật có chu vi bằng \(14m\) và diện tích bằng \(12{{m}^{2}}.\) Tính độ dài đường chéo của hình chữ nhật này.
- Cho các số không âm \(a,\ b,\ c\) thỏa mãn \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(S=\frac{a}{2+bc}+\frac{b}{2+ac}+\frac{c}{2+ab}.\)
- Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx + 4y = 20\\x + my = 10\end{array} \right.\), với m là tham số. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
- Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh \(2R.\) Diện tích \(S\) phần màu xanh trong hình vuông \(ABCD\) là
