Cho các số dương \(x,y\) thoả mãn\(x + y \le \frac{4}{3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = x + y + \frac{3}{{4x}} + \frac{3}{{4y}}\)

Ta có: \(S = \left( {x + \frac{4}{{9x}}} \right) + \left( {y + \frac{4}{{9y}}} \right) + \frac{{11}}{{36}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)\).

Áp dụng bất đẳng thức Co-si có:

\(\begin{array}{l} + )\;x + \frac{4}{{9x}} \ge 2\sqrt {x.\frac{4}{{9x}}}  = 2.\sqrt {\frac{4}{9}}  = \frac{4}{3}\\ + )\;y + \frac{4}{{9y}} \ge 2\sqrt {y.\frac{4}{{9y}}}  = 2\sqrt {\frac{4}{9}}  = \frac{4}{3}\end{array}\)

Chứng minh bất đẳng thức phụ:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow \frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)(luôn đúng)

Áp dụng bất đẳng thức phụ trên có: \(\frac{{11}}{{36}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge \frac{{11}}{{36}}.\frac{4}{{x + y}}\)

Mà có \(x + y \le \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{{11}}{{36}}.\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge \frac{{11}}{{36}}.\frac{4}{{x + y}} \ge \frac{{11}}{{36}}.\frac{4}{{\frac{4}{3}}} = \frac{{11}}{{12}}\).

\( \Rightarrow S = \left( {x + \frac{4}{{9x}}} \right) + \left( {y + \frac{4}{{9y}}} \right) + \frac{{11}}{{36}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{{11}}{{12}} = \frac{{43}}{{12}}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{4}{{9x}}\\y = \frac{4}{{9y}}\\x + y = \frac{4}{3}\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{2}{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(\frac{{43}}{{12}}\) khi\(x = y = \frac{2}{3}\).

Chọn đáp án A.