Ta có: \(\sqrt {1 + 8{a^3}}  = \sqrt {\left( {1 + 2a} \right)\left( {1 - 2a + 4{a^2}} \right)} \mathop  \le \limits^{AM - GM} \frac{{1 + 2a + 1 - 2a + 4{a^2}}}{2} = 1 + 2{a^2}\)

Tương tự vai trò cho \(\sqrt {1 + 8{b^3}} \,\,và \,\,\sqrt {1 + 8{c^3}} \) ta được \(P \ge \frac{1}{{1 + 2{a^2}}} + \frac{1}{{1 + 2{b^2}}} + \frac{1}{{1 + 2{c^2}}}\)

Mặt khác \(\frac{1}{{1 + 2{a^2}}} = \frac{1}{{1 + 2{a^2}}} + \frac{{1 + 2{a^2}}}{9} - \frac{{1 + 2{a^2}}}{9}\mathop  \ge \limits^{Cauchy} 2\sqrt {\frac{1}{{1 + 2{a^2}}}.\frac{{1 + 2{a^2}}}{9}}  - \frac{2}{9}{a^2} - \frac{1}{9} = \frac{{5 - 2{a^2}}}{9}\)

khi đó \(P \ge \frac{{5 - 2{a^2}}}{9} + \frac{{5 - 2{b^2}}}{9} + \frac{{5 - 2{c^2}}}{9} = \frac{{15 - 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{9} = \frac{{15 - 2.3}}{9} = 1\)

Vậy Min P = 1

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\\
1 + 2a = 1 - 2a + 4{a^2}\\
\frac{1}{{1 + 2{a^2}}} = \frac{{1 + 2{a^2}}}{9}
\end{array} \right.\) và vai trò a, b, c như nhau hay (a; bl c) = (1;1; 1)