-
Câu hỏi:
Cho \(a,b,c > 0\) và \(a + b + c = 2019\).Tìm giá trị nhỏ nhất của: \(S = \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} + \sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} + \sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} \)
-
A.
\({S_{\min }} = 2017\)
-
B.
\({S_{\min }} = 2018\)
-
C.
\({S_{\min }} = 2019\)
-
D.
\({S_{\min }} = 2020\)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: C
Cho \(a,b,c > 0\) và \(a + b + c = 2019\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của: \(S = \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} + \sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} + \sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} \)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a và b ta được :
\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} \ge 2ab \Leftrightarrow 3{a^2} + 3{b^2} \ge 6ab \Leftrightarrow 4{a^2} - 4ab + 4{b^2} \ge {a^2} + 2ab + {b^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - ab + {b^2} \ge \frac{1}{4}\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right) = \frac{1}{4}{\left( {a + b} \right)^2}\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Do \(a,b > 0\) nên : \({a^2} + {b^2} - ab \ge 2ab - ab = ab > 0\)
\( \Rightarrow \,\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} \ge \frac{1}{2}\left| {a + b} \right| = \frac{1}{2}\left( {a + b} \right)\)
Tương tự ta cũng chứng minh được : \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} \ge \frac{1}{2}\left( {b + c} \right)\\\sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} \ge \frac{1}{2}\left( {c + a} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow S = \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} + \sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} + \sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} \ge \frac{1}{2}\left( {a + b} \right) + \frac{1}{2}\left( {b + c} \right) + \frac{1}{2}\left( {c + a} \right) = a + b + c = 2019\)
Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\a + b + c = 2019\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 673\)
Vậy \({S_{\min }} = 2019\) đạt được khi \(a = b = c = 673\).
Chọn C.
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Tìm tập nghiệm của: \(\sqrt 2 {x^2} - \sqrt 8 = 0.\)
- Tìm tập nghiệm phương trình: \(2{x^2} + 3x - 2 = 0.\)
- Tìm nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = - 5\\3x + 5y = - 1\end{array} \right..\)
- Cho hàm số: \(\left( P \right):\,\,y = \frac{{ - {x^2}}}{2},\,\,\,\left( d \right):\,\,y = \frac{3}{2}x - 2.\) Tìm tọa độ giao điểm d và P bằng phép toán.
- Cho phương trình: \({x^2} + (2m - 3)x - m + 1 = 0\). Tìm \(m\) để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức: \(({x_1} - 3)({x_2} - 3) = 5.\)
- Cần pha bao nhiêu lít nước ở \({40^0}C\) và 8 lít nước ở \({70^0}C\) để thu được lượng nước \({60^0}C\)?
- Tính quãng đường từ nhà tới trường, biết bánh xe quay tất cả 875 vòng (giả sử bạn Nam đạp xe chạy thẳng từ nhà đến trường trên một đường thẳng và kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
- Tìm nghiệm của phương trình: \(3\left( {{x^2} - 5} \right) = 4x\)
- Tìm nghiệm phương trình: \(4{x^4} + 3{x^2} - 1 = 0\)
- Cho hàm số: \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\) có đồ thị là (P). Tìm các tọa độ giao điểm của (P) và đường thẳng (D): \(y = x - 4\) bằng phép toán.
- Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 70m. Tính diện tích khu vườn biết 2 lần chiều dài nhỏ hơn 3 lần chiều rộng 5m.
- Cho A là điểm thuộc nửa đường tròn (O) đường kính \(BC = 6cm\) và \(\angle ACB = {30^o}\). Tính AB, AC và diện tích phần tô đậm.
- Tìm tập nghiệm của phương trình: \(3x(x - 2) = 11 - 2{x^2}.\)
- Tìm tập nghiệm của phương trình: \({(x + 1)^2} - 2x + 1 = {x^4}.\)
- Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 80m, biết ba lần chiều rộng kém 2 lần chiều dài là 5m.
- Cho hàm số sau: \(y = - \frac{{{x^2}}}{4}\,\,(P);y = \frac{x}{2} - 2\,\,\,\left( d \right).\) Tính tọa độ giao điểm \(d\) và \(P).\)
- Cho phương trình sau: \({x^2} - 2mx - 4m - 5 = 0.
- Biết giá vé vào cổng giáo viên là 80.000 đồng, học sinh là 60.000 đồng, đi vào đúng dịp giỗ tổ Hùng Vương nên giảm 5% vé vào, vì vậy nhà trường phải trả tổng cộng 14.535.000 đồng. Hỏi có bao nhiêu giáo viên và học sinh đi tham quan?
- Cho biết đường tròn đi qua 2 đỉnh và tiếp xúc cạnh 1 hình vuông.
- Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 7\\3x + 2y = 4\end{array} \right.\)
- Giải phương trình bậc hai: \({x^2} - 2\sqrt 2 x - 7 = 0\)
- Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{3}{{\sqrt x }} - \frac{{5\sqrt x + 3}}{{x + \sqrt x }}\,\,\,\,\,\left( {x > 0} \right).\)
- Vì vậy, mỗi xe phải chở thêm 5 tấn hàng nữa mới hết số hàng đó. Tính số xe lúc đầu của đội biết rằng khối lượng hàng mỗi xe chở là bằng nhau.
- Cho parabol \(\left( P \right):y = - {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = mx - 2\) (m là tham số). Tìm m sao cho \({x_1}^2{x_2} + {x_2}^2{x_1} + 5{x_1}{x_2} = 4026\).
- Cho \(a,b,c > 0\) và \(a + b + c = 2019\).Tìm giá trị nhỏ nhất của: \(S = \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} + \sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} + \sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} \)
- Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 3\\3x - 2y = 2\end{array} \right.\)
- Cho phương trình \({x^2} + mx - 1 = 0\) (với m là tham số). Tìm \(m\) để phương trình có các nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 5x_1^2x_2^2\)
- Hỏi lúc đầu, đội có bao nhiêu xe? Biết khối lượng hàng mỗi xe phải chở như nhau.
- Với x,y là các số dương thỏa mãn \(x + y = 6.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = {x^2} + {y^2} + \frac{{33}}{{xy}}\)
- Cho biết cặp số \(\left( { - 1;2} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?
- Điều kiện của \(m\) để phương trình \({x^2} - 2mx + {m^2} - 4 = 0\) có hai nghiệm \({x_1} = 0,\,\,{x_2} > 0\) là:
- Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB,\) dây\(AC = R\). Khi đó số đo độ của cung nhỏ \(BC\) là:
- Độ dài của một đường tròn là \(10\pi \) (cm). Cho biết diện tích của hình tròn đó là:
- Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x - 2}} + \frac{1}{{y + 1}} = 3\\\frac{3}{{x - 2}} - \frac{2}{{y + 1}} = 8\end{array} \right.\)
- Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 5 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hết số hàng đó trong bao nhiêu ngày?
- Tính vận tốc thực của tàu thủy khi nước đứng yên, biết rằng vận tốc của dòng nước bằng 4 km/h.
- Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{{x - 1}} + \frac{{y - 15}}{{y + 2}} = \frac{2}{5}\\\frac{{x - 9}}{{x - 1}} + \frac{{30}}{{y + 2}} = 2\end{array} \right.\)
- Tìm \(m\) để \(d\)cắt \((P)\) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \({x_1}^2 + 3{x_2} - 4{x_1}{x_2} = 5.\)
- Cho \(a > 0,\,\,b > 0\) và \({a^2} + {b^2} = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:\(S = ab + 2\left( {a + b} \right)\)
- Giải phương trình: \(3{x^2} - 26x + 48 = 0\)
