-
Câu hỏi:
Cho 3 số thực \(x,y,z\) thỏa mãn \(2x + 2y + z = 4.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(A = 2xy + yz + zx.\)
-
A.
\({A_{\max }} = \frac{7}{3}\)
-
B.
\({A_{\max }} = 3\)
-
C.
\({A_{\max }} = 2\)
-
D.
\({A_{\max }} = \frac{8}{3}\)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: D
Ta có: \(2x + 2y + z = 4 \Leftrightarrow z = 4 - 2x - 2y.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = 2xy + yz + zx = 2xy + y\left( {4-2x-2y} \right) + x\left( {4-2x-2y} \right)\\ = {\rm{ }}2xy + 4y-2xy-2{y^2} + 4x-2{x^2}-2xy\\ = -2{x^2}-2xy + 4x-2{y^2} + 4y\\ = - \left[ {\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) - \frac{8}{3}\left( {x + y} \right) + \frac{{16}}{9}} \right] - \left( {{x^2} - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}} \right) - \left( {{y^2} - \frac{4}{3}y + \frac{4}{9}} \right) + \frac{8}{3}\\ = - {\left( {x + y - \frac{4}{3}} \right)^2} - {\left( {x - \frac{2}{3}} \right)^2} - {\left( {y - \frac{2}{3}} \right)^2} + \frac{8}{3}\end{array}\)
Mà: \({\left( {x + y - \frac{4}{3}} \right)^2} \ge 0;\;{\left( {x - \frac{2}{3}} \right)^2} \ge 0;\;{\left( {y - \frac{2}{3}} \right)^2} \ge 0\;\forall x,\;y\)
\( \Rightarrow A = - {\left( {x + y - \frac{4}{3}} \right)^2} - {\left( {x - \frac{2}{3}} \right)^2} - {\left( {y - \frac{2}{3}} \right)^2} + \frac{8}{3} \ge \frac{8}{3}\)\(\forall x,\;y\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y - \frac{4}{3} = 0\\x - \frac{2}{3} = 0\\y - \frac{2}{3} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{2}{3}.\)
Vậy Amax = \(\frac{8}{3}\) tại \(\left\{ \begin{array}{l}x = y = \frac{2}{3}\\z = \frac{4}{3}\end{array} \right.\).
Chọn D.
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Tìm tập nghiệm của phương trình: \(2x - 7 = 5x + 20\)
- Tìm tập nghiệm của phương trình: \({x^3} - 4x = 0\)
- Tìm tập nghiệm của phương trình: \(\frac{1}{{2x - 3}} - \frac{3}{{2{x^2} - 3x}} = \frac{5}{x}\)
- Tìm tập nghiệm của phương trình: \(\left| {{x^2} - 1} \right| = 2x + 1\)
- Tìm tập nghiệm của bất phương trình: \(3x - 5 \le x + 1\)
- Tìm tập nghiệm của bất phương trình: \(\frac{{2x - 2}}{3} > 2 - \frac{{x + 2}}{2}\)
- Điều kiện xác định của phương trình: \(\frac{{3x + 2}}{{x + 2}} + \frac{{2x - 11}}{{{x^2} - 4}} = \frac{3}{{2 - x}}\) là:
- \(x = - 2\) là một nghiệm của bất phương trình:
- Phương trình \(\left| {2x + 5} \right| - 3 = x\) có nghiệm là:
- Cho \(\Delta ABC\) và \(MN//BC\) với M nằm giữa A và B, N nằm giữa A và C. Biết \(AN = 2cm,\;\;AB = 3AM.\) Kết quả nào sau đây đúng:
- Cho \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta A'B'C'\) theo tỉ số \(\frac{2}{5}\) và chu vi của \(\Delta A'B'C'\) là 60cm. Khi đó chu vi \(\Delta ABC\) là:
- Cho AD là phân giác của \(\Delta ABC\;\;\left( {D \in BC} \right)\) có \(AB = 14cm,\;\;AC = 21cm,\;\;BD = 8cm.\) Độ dài cạnh BC là:
- Một hình hộp chữ nhật có chiều rộng, chiều dài, diện tích xung quanh lần lượt bằng 4cm; 5cm và \(54cm^2\). Chiều cao của hình hộp chữ nhật là:
- Tìm \(x\) để \(A = \frac{3}{2}\)
- Giải bất phương trình: \(\frac{{x - 1}}{2} + \frac{{2 - x}}{3} \le \frac{{3x - 3}}{4}\)
- Lúc 6 giờ, ô tô thứ nhất khởi hành từ A. Đến 7 giờ 30 phút ô tô thứ hai cũng khởi hành từ A đuổi theo và kịp gặp ô tô thứ nhất lúc 10 giờ 30 phút. Biết vận tốc ô tô thứ hai lớn hơn vận tốc ô tô thứ nhất là 20km/h. Tính vận tốc mỗi ô tô?
- Tìm cặp số nguyên \(\left( {x;\;y} \right)\) thỏa mãn phương trình: \({x^3} + 3x = {x^2}y + 2y + 5.\)
- Tìm tập nghiệm của phương trình: \(7-3x = 9-x\)
- Tìm tập nghiệm của phương trình: \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2}-3x + 5} \right) = \left( {x + 2} \right){x^2}\)
- Tìm tập nghiệm của phương trình: \(\frac{2}{{x + 1}} - \frac{1}{{x - 2}} = \frac{{3{\rm{x}} - 11}}{{(x + 1)(x - 2)}}.\)
- Tìm tập nghiệm của: \( - 4x + 8 \ge 0\)
- Tìm tập nghiệm của: \(\frac{x}{{x - 3}} > 1\)
- Tính số học sinh của mỗi lớp biết rằng cả hai lớp ủng hộ được 222 quyển sách.
- Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(M = 2{x^2} + 5{y^2} - 2xy + 2y + 2x\)
- Nếu tăng chiều rộng \(3m\) và giảm chiều dài \(2m\) thì diện tích mảnh vườn sẽ là \(169{m^2}.\) Tính diện tích của mảnh vườn.
- Giải phương trình sau: \(2\left( {x - 3} \right) = 5x - 3\)
- Giải phương trình: \(\frac{5}{{x - 5}} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{x + 5}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)}}\)
- Giải bất phương trình sau: \(5x + 2 \ge 2\left( {x - 3} \right)\)
- Hãy tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng hai chữ số của số đó là 14.
- Giá mua của 5 cây bút bi và 3 cây bút chì bằng giá mua 2 cây bút bi và 5 cây bút chì. Giá mua 1 cây bút chì là 11 400 đồng.
- Khi \(x \ge 3\), kết quả rút gọn của biểu thức \(2x + \left| {x - 3} \right| - 1\) là:
- Giá trị \(x = 2\) là nghiệm của bất đẳng thức:
- Diện tích toàn phần của hình lập phương có độ dài cạnh đáy bằng 5 cm là:
- Thể tích của hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh 6 cm và chiều cao gấp 2 lần cạnh đáy bằng:
- Tìm tập nghiệm của phương trình: \(15x - 10 = 7x + 6\)
- Tìm tập nghiệm của phương trình: \(\frac{{x - 5}}{{{x^2} - 9}} - \frac{5}{{3 - x}} = \frac{4}{{x + 3}}\)
- Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số \(\frac{{x + 2}}{4} \ge \frac{1}{2} + \frac{{x - 3}}{3}\).
- Với giá trị nào của \(x\) thì giá trị của phân thức \(\frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{x + 2}} < 2\).
- Đến B người đó làm việc trong 1 giờ 30 phút rồi quay về A với vận tốc 45km/h. Biết thời gian tổng cộng hết 6 giờ 24 phút. Tính quãng đường AB.
- Cho 3 số thực \(x,y,z\) thỏa mãn \(2x + 2y + z = 4.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(A = 2xy + yz + zx.\)
