OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE
  • Câu hỏi:

    Cho \(0\le x;\,y\le 1\) thỏa mãn \(\frac{{{2018}^{1-x}}}{{{2018}^{y}}}=\frac{{{x}^{2}}+2019}{{{y}^{2}}-2y+2020}\). Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của biểu thức \(P=\left( 4{{x}^{2}}+3y \right)\left( 4{{y}^{2}}+3x \right)+25xy\), khi đó \(M+m\) bằng bao nhiêu?  

    • A. 
      \(\frac{391}{16}\). 
    • B. 
      \(\frac{383}{16}\).    
    • C. 
      \(\frac{136}{3}\).  
    • D. 
      \(\frac{25}{2}\).  

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: A

    \(\begin{align}  & \frac{{{2018}^{1-x}}}{{{2018}^{y}}}=\frac{{{x}^{2}}+2019}{{{y}^{2}}-2y+2020}\Leftrightarrow \frac{{{2018}^{1-x}}}{{{2018}^{y}}}=\frac{{{x}^{2}}+2019}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}+2019}\Leftrightarrow \frac{{{2018}^{1-y}}}{{{2018}^{x}}}=\frac{{{x}^{2}}+2019}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}+2019} \\ & \Leftrightarrow {{2018}^{x}}\left( {{x}^{2}}+2019 \right)={{2018}^{1-y}}\left( {{\left( 1-y \right)}^{2}}+2019 \right)\,\,(1) \\\end{align}\)

    Xét hàm số \(y=f(t)={{2018}^{t}}.\left( {{t}^{2}}+2019 \right),\,\,t\in \left[ 0;1 \right]\)

    \(y'=f'(t)={{2018}^{t}}\ln 2018.\left( {{t}^{2}}+2019 \right)+2t{{.2018}^{t}}={{2018}^{t}}.\left( {{t}^{2}}\ln 2018+2t+2019\ln 2018 \right)>0,\,\,\forall t\in \left[ 0;1 \right]\)

    \(\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\)

    Phương trình (1) trở thành \(f(x)=f(1-y)\Leftrightarrow x=1-y\Leftrightarrow x+y=1\)

    Ta có: 

    \(\begin{array}{l}
    P = \left( {4{x^2} + 3y} \right)\left( {4{y^2} + 3x} \right) + 25xy\\
    \,\,\,\,\, = 16{x^2}{y^2} + 12{x^3} + 12{y^3} + 9xy + 25xy\\
    \,\,\,\,\, = 16{x^2}{y^2} + 12\left( {{{\left( {x + y} \right)}^3} - 3xy\left( {x + y} \right)} \right) + 34xy\\
    \,\,\,\,\, = 16{x^2}{y^2} + 12 - 36xy + 34xy = 16{x^2}{y^2} - 2xy + 12
    \end{array}\)

     Với \(x,\,y\in \left[ 0;1 \right],\,\,x+y=1\): \(0\le xy\le \frac{1}{4}\).  Đặt \(xy=z,\,\,\,z\in \left[ 0;\frac{1}{4} \right]\), ta có:  \(P=g(z)=16{{z}^{2}}-2z+12,\,\,g'(z)=32z-2=0\Rightarrow z=\frac{1}{16}\)

    Mà \(g\left( 0 \right)=12,\,\,g\left( \frac{1}{16} \right)=\frac{191}{16},\,g\left( \frac{1}{4} \right)=\frac{25}{2}\Rightarrow M=\frac{25}{2},\,\,m=\frac{191}{16}\Rightarrow M+m=\frac{391}{16}\)

    Chọn: A

    Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

ADSENSE/
QUẢNG CÁO
 

 

CÂU HỎI KHÁC

NONE
OFF