-
Câu hỏi:
Biết \(\int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }} = \sqrt a } - \sqrt b - c\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in {Z^ + }.\) Tính \(P = a + b + c\).
-
A.
\(P=12\)
-
B.
\(P=18\)
-
C.
\(P=24\)
-
D.
\(P=46\)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: D
Ta có \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {x\left( {x + 1} \right)} \left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt x } \right)}}} = \int\limits_1^2 {\frac{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }}{{\sqrt {x\left( {x + 1} \right)} {{\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt x } \right)}^2}}}} \,{\rm{d}}x.\)
Đặt \(u = \sqrt {x + 1} + \sqrt x \), suy ra \({\rm{d}}u = \left( {\frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} + \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)\,{\rm{d}}x \to 2{\rm{d}}u = \frac{{\sqrt x + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {x\left( {x + 1} \right)} }}\,{\rm{d}}x.\)
Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 \to u = \sqrt 3 + \sqrt 2 \\
x = 1 \to u = \sqrt 2 + 1
\end{array} \right..\) Khi đó \(I = 2\int\limits_{\sqrt 2 + 1}^{\sqrt 3 + \sqrt 2 } {\frac{{{\rm{d}}u}}{{{u^2}}}} \, = \left. { - \frac{2}{u}} \right|_{\sqrt 2 + 1}^{\sqrt 3 + \sqrt 2 } = - 2\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 + 1}}} \right)\)\( = - 2\left( {\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{3 - 2}} - \frac{{\sqrt 2 - 1}}{{2 - 1}}} \right) = \sqrt {32} - \sqrt {12} - 2 \to \left\{ \begin{array}{l}
a = 32\\
b = 12\\
c = 2
\end{array} \right. \to P = 46.\)Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right],\) thỏa \(2f\left( x \right) + 3f\left( {1 - x} \right) =
- Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right],\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 1.
- Cho các hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;2} \right]\) và thỏa mã
- Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và thỏa \(\int\limits_0^{{x^2}} {f\left( t \r
- Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ {a; + \infty } \right)\) với \(a>0\) và thỏa \(\int\limits_a^x {\frac{{f\left
- Cho \(\int\limits_0^{2017} {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\).
- Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và \(\int\limits_1^9 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = 4} ,{\rm{ }}\in
- Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x} = 4,{\rm{ }}\int\l
- Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan x.
- Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định và liên tục trên \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right],\) thỏa \(f\left( x \right) + f\left( {\frac{
- Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và thỏa \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = \sqrt {2 + 2\cos 2x} \) với mọ
- Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên R thỏa \(f\left( {{x^5} + 4x + 3} \right) = 2x + 1\) với mọ
- Cho các hàm số \(f(x), g(x)\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right],\) thỏa \(m.f\left( x \right) + n.
- Cho hàm số \(f(x)\) xác định và liên tục trên \(\left[ {0;1} \right],\) thỏa mãn \(f\left( x \right) = f\left( {1 - x} \right
- Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên R và thỏa mãn \({f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = x\) với m�
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\int\limits_0^3 {x.f\left( x \right).
- Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right],\) thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}}
- Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right],\) thỏa mãn \(\int\limits_1^2 {f\left( {
- Cho hàm số \(f(x)\) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;2} \right].
- Cho biểu thức \(S = \ln \left( {1 + \int\limits_{\frac{n}{{4 + {m^2}}}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2 - \sin 2x} \right){e^{2\cot x}}{\rm{d}}x} } \r
- Biết \(\int\limits_1^2 {\ln \left( {9 - {x^2}} \right){\rm{d}}x} = a\ln 5 + b\ln 2 + c\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.
- Biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{\pi {x^3} + {2^x} + e{x^3}{2^x}}}{{\pi + e{{.2}^x}}}} {\rm{d}}x = \frac{1}{m} + \frac{1}{{e\ln n}}.
- Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{x^2} + \left( {2x + \cos x} \right)\cos x + 1 - \sin x}}{{x + \cos x}}{\rm{d}}x} = a{\pi ^2} +
- Biết \(\int\limits_{\ln \sqrt 3 }^{\ln \sqrt 8 } {\frac{1}{{\sqrt {{e^{2x}} + 1} - {e^x}}}{\rm{d}}x} = 1 + \frac{1}{2}\ln \frac{b}{a} +
- Biết \(\int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }} = \sqrt a } - \sqrt b - c\) v�
- Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sin 4x}}{{\sqrt {{{\cos }^2}x + 1} + \sqrt {{{\sin }^2}x + 1} }}{\rm{d}}x} = \frac{{a\sqr
- Biết \(\int\limits_1^4 {\sqrt {\frac{1}{{4x}} + \frac{{\sqrt x + {e^x}}}{{\sqrt x {e^{2x}}}}} {\rm{d}}x} = a + {e^b} - {e^c}\) vớ
- Biết \(\int\limits_0^2 {\sqrt {\frac{{2 + \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}} {\rm{d}}x} = a\pi + b\sqrt 2 + c\) với \(a,{\rm{ }}b,
- Biết \(I = \int\limits_1^e {\frac{{{{\ln }^2}x + \ln x}}{{{{\left( {\ln x + x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{a} - \frac{b}{{{{\left(
- Biết \(\int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{x\cos x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} + x}}{\rm{d}}x} = a + \frac{{{\pi ^2}}}{b}
- Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 1 & {\rm{khi}} & x \ge 0\\{e^{2x}} & {\rm{khi}} & x \le 0\end{arra
- Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(R\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\},\) thỏa \(f\left( x \right) = \frac{2}{{2x - 1}},{\
- Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(R{\rm{\backslash }}\left\{ { - 2;1} \right\},\) thỏa mãn \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2
- Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right){\rm{\backslash }}\left\{ e \right\},\) thỏa mãn \(f\left( x \ri
- Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{1}{{1 + \sin 2x}}\) với \(x \in R\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k
- Cho hàm số \(f(x)\) là hàm số lẻ, liên tục trên \(\left[ { - \,4;\,4\,} \right].
- Cho hàm số \(f(x)\) là hàm số chẵn, liên tục trên \(\left[ { - 1;6} \right].
- Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ {3;7} \right],\) thỏa mãn \(f\left( x \right) = f\left( {10 - x} \right)\) với m
- Cho hàm số \(y=f(x)\) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right],\) thỏa mãn \(\int\limits_0^\
- Biết \(\int\limits_0^\pi {\frac{{x{{\sin }^{2018}}x}}{{{{\sin }^{2018}}x + {{\cos }^{2018}}x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{\pi ^a}}}{b}\) v