Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).

Với x>1 ta có \(f\left( x \right)={{x}^{2}}+3\) xác định và liên tục trên khoảng \(\left( 1;+\infty  \right)\).

Với x<1 ta có \(f\left( x \right)=5-x+2021a\) xác định và liên tục trên khoảng \(\left( -\infty ;1 \right)\).

Xét tại x=1 ta có \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+3 \right)=4\).

\(\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 5-x+2021a \right)=4+2021a\).

Và \(f\left( 1 \right)=4\).

Vậy để hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên tập thì \(f\left( x \right)\) phải liên tục tại điểm x=1

\(\Leftrightarrow \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)\Leftrightarrow 4=4+2021a\Leftrightarrow a=0\).

Khi đó \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} {{x}^{2}}+3 & \text{khi} & x\ge 1 \\ 5-x & \text{khi} & x<1 \\ \end{matrix} \right.\).

Xét tích phân \({{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos x\text{d}x}\). Đặt \(t=sinx\Rightarrow \text{d}t=\cos x\text{d}x\)

Đổi cận

Ta có \({{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)\text{d}t=}\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 5-x \right)\text{d}x=}\left. \left( 5x-\frac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{0}^{1}=\frac{9}{2}\).

Xét tích phân \({{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)\text{d}x}\). Đặt \(t=3-2x\Rightarrow \text{d}t=-2\text{d}x\Rightarrow \text{d}x=\frac{-\text{d}t}{2}\)

Đổi cận

Tacó \({{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)\text{d}x}=-\frac{1}{2}\int\limits_{3}^{1}{f\left( t \right)\text{d}t=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{f\left( t \right)\text{d}t=}}\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x=}\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{\left( {{x}^{2}}+3 \right)\text{d}x}\)

\(=\frac{1}{2}\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}+3x \right) \right|_{1}^{3}=\frac{1}{2}\left( 18-\frac{10}{3} \right)=\frac{22}{3}\).

Vậy \(I=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos x\text{d}x+3\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)\text{d}x}}=9+22=31\).