-
Câu hỏi:
a) Chứng minh rằng với mọi số thực \(x, y\) khác 0 ta đều có \(\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{4{y^2}}}{{{x^2}}} \ge \frac{{6x}}{y} + \frac{{12y}}{x} - 13\)
b) Cho số thực \(x\) thỏa mãn \(0
Lời giải tham khảo:
a) Đặt \(t = \frac{x}{y} + \frac{{2y}}{x}\), suy ra \({t^2} = \frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{4{y^2}}}{{{x^2}}} + 4\)
Nên \(\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{4{y^2}}}{{{x^2}}} - \frac{{6x}}{y} - \frac{{12y}}{x} + 13 = {t^2} - 4 - 6t + 13\)
\( = {\left( {t - 3} \right)^2} \ge 0\)
Do đó ta được điều phải chứng minh
b) Từ điều kiện ta được x > 0 và 1 – x > 0. Đặt \(t = \frac{{1 - x}}{x}\), suy ra t > 0.
Hơn nữa \(\frac{1}{x} = t + 1\) và \(\frac{1}{{1 - x}} = \frac{{1 - x + x}}{{1 - x}} = 1 + \frac{1}{t}\)
Do đó \(A = t + 1 + 2 + \frac{2}{t} = 3 + {\left( {t + \frac{2}{t}} \right)^2} \ge 3 + 2\sqrt 2 \)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow t = \sqrt 2 \Leftrightarrow x = \sqrt 2 - 1\)
Do đó giá trị nhỏ nhất của A là \(3 + 2\sqrt 2 \) khi $x = \sqrt 2 - 1\)
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Cho các số dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a + b + c = 2\) và\(\sqrt {ab + 2c} + \sqrt {bc + 2a} + \sqrt {ca + 2b} = 4\
- a) Giải phương trình \(\frac{x}{2} + \frac{2}{x} + 1 = 2x + 5\)b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x\sqrt x -
- Cho tam giác ABC vuông tại A.Lấy hai điểm M, N thuộc BC, điểm P thuộc cạnh CA và điểm Q thuộc cạnh AB sao cho MNPQ là hình vuông. Chứng minh rằng: a) \(AP + BQ \ge 2MN\) b) \(AB + AC > 4MN\)
- a) Chứng minh rằng với mọi số thực \(x, y\) khác 0 ta đều có\(\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{4{y^2}}}{{{x^2}}} \ge \frac{{6x}}{y}
- Cho đường tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn, với OM > 2R.
- Số nguyên dương n được gọi là số so cute” nếu tổng bình phương tất cả các ước số dương của n (kể cả 1 và n)