Đề thi thử tuyển sinh lớp 10 năm 2019 môn Toán Chuyên Trung tâm luyện thi ĐH KHTN

Cho các số dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a + b + c = 2\) và \(\sqrt {ab + 2c}  + \sqrt {bc + 2a}  + \sqrt {ca + 2b}  = 4\)

Tính giá trị của biểu thức \(P = 2a + 3b + 4c\)

a) Giải phương trình \(\frac{x}{2} + \frac{2}{x} + 1 = 2x + 5\)

b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
3x\sqrt x  - y\sqrt y  = \frac{1}{{\sqrt x  + \sqrt y }}\\
x + y = 1
\end{array} \right.\)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy hai điểm M, N thuộc BC, điểm P thuộc cạnh CA và điểm Q thuộc cạnh AB sao cho MNPQ là hình vuông. Chứng minh rằng:

a) \(AP + BQ \ge 2MN\)

b) \(AB + AC > 4MN\)

a) Chứng minh rằng với mọi số thực \(x, y\) khác 0 ta đều có \(\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{4{y^2}}}{{{x^2}}} \ge \frac{{6x}}{y} + \frac{{12y}}{x} - 13\)

b) Cho số thực \(x\) thỏa mãn \(0

Cho đường tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn, với OM > 2R. Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và đường kính AD của đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Gọi C là giao điểm của MD với đường tròn và H là giao điểm của MO và AB.

a) Chứng minh \(\widehat {CHD} = 2\widehat {AMC}\) 

b) Gọi K là giao điểm của MD với AB và I là giao điểm của BC với MH. Chứng minh ba đường thẳng MB, IK và HD đồng quy.

Số nguyên dương n được gọi là số “so cute” nếu tổng bình phương tất cả các ước số dương của n (kể cả 1 và n) đúng bằng \({\left( {n + 3} \right)^2}\)

a) Chứng minh rằng số 287 là số “so cute”

b) Giả sử p,q là hai số nguyên tố phân biệt sao cho n=pq là số “so cute”. Chứng minh rằng n+2 là số chính phương (số chính phương là số có dạng bình phương của một số nguyên).