1) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
4x - \left| {y + 2} \right| = 3\\
x + 2\left| {y + 2} \right| = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8x - 2\left| {y + 2} \right| = 6\\
x + 2\left| {y + 2} \right| = 3
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9x = 9\\
x + 2\left| {y + 2} \right| = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
2\left| {y + 2} \right| = 3 - 1 = 2
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
\left| {y + 2} \right| = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y + 2 = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y + 2 =  - 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y =  - 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y =  - 3
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1; -1) và (1; -3)

2) a) Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình

\({x^2} = \left( {m + 2} \right)x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 2} \right)x - 3 = 0\)

Ta có \(a = 1 \ne 0\)

Xét \(\Delta  = {\left( {m + 2} \right)^2} + 4.3 = {\left( {m + 2} \right)^2} + 12 > 0\) với mọi \(m \in R\). Vì \({\left( {m + 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(m \in R\)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt nên đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

b) Theo định lí Vi - et \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m + 2\\
{x_1}{x_2} =  - 3
\end{array} \right.\). Để \({x_1},{x_2} \in Z\) mà \(x_1.x_2=-3\), Vì 3 là số nguyên tố nên \({x_1}.{x_2} =  - 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} =  - 1\\
{x_2} = 3
\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 1\\
{x_2} =  - 3
\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 3\\
{x_2} =  - 1
\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} =  - 3\\
{x_2} = 1
\end{array} \right.\)

Suy ra \({x_1} + {x_2} =  - 2 \Leftrightarrow m + 2 =  - 2 \Leftrightarrow m =  - 4\)

Hoặc \({x_1} + {x_2} =  - 2 \Rightarrow m + 2 = 2 \Rightarrow m = 0\)

Vậy m = - 4 hoặc m = 0 thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là các số nguyên