Một số phương pháp tính giới hạn dãy số

Phương pháp: - Bước 1: Đặt lũy thừa bậc cao nhất của \(n\) ra làm nhân tử chung. - Bước 2: Sử dụng quy tắc nhân các giới hạn để tính giới hạn.

Ví dụ: Tính giới hạn \(\lim \left( {{n^3} - {n^2} + n - 1} \right)\).

Ta có: \(\lim \left( {{n^3} - {n^2} + n - 1} \right) = \lim {n^3}\left( {1 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}} - \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right) =  + \infty \)

Phương pháp: - Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu. - Bước 2: Tính các giới hạn của tử và mẫu rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn của thương để tính giới hạn.

Ví dụ: Tính giới hạn \(\lim \dfrac{{2n - 1}}{{n + 1}}\).

Ta có: \(\lim \dfrac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \lim \dfrac{{2 - \dfrac{1}{n}}}{{1 + \dfrac{1}{n}}} = \dfrac{2}{1} = 2\)

Phương pháp: - Bước 1: Xét xem sử dụng phương pháp ở dạng 1 có dùng được không. +) Nếu được thì ta dùng phương pháp ở dạng 1. +) Nếu không ta sẽ chuyển qua bước dưới đây: - Bước 2: Nhân, chia với biểu thức liên hợp thích hợp và đưa về dạng 1.

Ví dụ: Tính giới hạn \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  - n} \right)\).

Ta có:

\(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  - n} \right)\)

\( = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  - n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  + n} \right)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  + n} \right)}} \)

\(= \lim \dfrac{{{n^2} + 2n - {n^2}}}{{\left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  + n} \right)}}\)

\(= \lim \dfrac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 2n}  + n}}\)

\(= \lim \dfrac{2}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{n}}  + 1}} = \dfrac{2}{{1 + 1}} = 1\)

Phương pháp: - Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa với cơ số lớn nhất. - Bước 2: Sử dụng nhận xét \(\lim {q^n} = 0\) với \(\left| q \right| < 1\).

Ví dụ: \(\lim \dfrac{{{2^n} + {5^n}}}{{{{2.3}^n} + {{3.5}^n}}} = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^n} + 1}}{{2.{{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^n} + 3.1}} = \dfrac{{0 + 1}}{{2.0 + 3}} = \dfrac{1}{3}\)

Phương pháp: Sử dụng định lý kẹp: Cho ba dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right),\left( {{w_n}} \right)\). Nếu \({u_n} < {v_n} < {w_n},\forall n\) và \(\lim {u_n} = \lim {w_n} = L \Rightarrow \lim {v_n} = L\). Ta thường sử dụng phương pháp này cho việc tính giới hạn các dãy số có chứa \(\sin ,\cos \).

Ví dụ: Tính \(\lim \dfrac{{\sin 3n}}{n}\).

Ta có: \( - 1 \le \sin 3n \le 1 \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{n} \le \dfrac{{\sin 3n}}{n} \le \dfrac{1}{n}\)

Mà \(\lim \left( { - \dfrac{1}{n}} \right) = 0;\lim \left( {\dfrac{1}{n}} \right) = 0\) nên \(\lim \dfrac{{\sin 3n}}{n} = 0\).

Câu 1. Tính giới hạn của dãy số \({{u}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{2k-1}{{{2}^{k}}}}\):

A. \(+\infty \)

B. \(-\infty \)

C. 3

D. 1

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có: \({{u}_{n}}-\frac{1}{2}{{u}_{n}}=\frac{1}{2}+\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+...+\frac{1}{{{2}^{n-1}}} \right)-\frac{2n-1}{{{2}^{n+1}}}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2}{{u}_{n}}=\frac{3}{2}-\frac{2n+1}{{{2}^{n+1}}}\Rightarrow \lim {{u}_{n}}=3\).

Câu 2. Tính giới hạn của dãy số \({{u}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{n}{{{n}^{2}}+k}}\):

A. \(+\infty \)

B. \(-\infty \)

C. 3

D. 1

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có: \(n\frac{n}{{{n}^{2}}+n}\le {{u}_{n}}\le n\frac{n}{{{n}^{2}}+1}\Rightarrow \frac{-n}{{{n}^{2}}+1}\le {{u}_{n}}-1\le \frac{-1}{{{n}^{2}}+1}\)

\(\Rightarrow \left| {{u}_{n}}-1 \right|\le \frac{n}{{{n}^{2}}+1}\to 0\Rightarrow \lim {{u}_{n}}=1\).

Câu 3. Tính giới hạn của dãy số \({{u}_{n}}=q+2{{q}^{2}}+...+n{{q}^{n}}\) với \(\left| q \right|<1\):

A. \(+\infty \)

B. \(-\infty \)

C. \(\frac{q}{{{\left( 1-q \right)}^{2}}}\)

D. \(\frac{q}{{{\left( 1+q \right)}^{2}}}\)

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có: \({{u}_{n}}-q{{u}_{n}}=q+{{q}^{2}}+{{q}^{3}}+...+{{q}^{n}}-n{{q}^{n+1}}\)

\(\Rightarrow (1-q){{u}_{n}}=q\frac{1-{{q}^{n}}}{1-q}-n{{q}^{n+1}}\). Suy ra \(\lim {{u}_{n}}=\frac{q}{{{\left( 1-q \right)}^{2}}}\).

Câu 4. Biết \(\lim \frac{{{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+...+{{n}^{3}}}{{{n}^{3}}+1}=\frac{a}{b}\left( a,b\in \mathbb{N} \right)\). Giá trị của \(2{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) là:

A. 33

B. 73

C. 51

D. 99

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Câu 5. Tính giới hạn của dãy số \({{u}_{n}}=\frac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}\):

A. \(+\infty \)

B. \(-\infty \)

C. 0

D. 1

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có: \(\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}=\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\)

Suy ra \({{u}_{n}}=1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\Rightarrow \lim {{u}_{n}}=1\)

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Một số phương pháp tính giới hạn dãy số. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!