Đề thi HSG môn Toán 10 năm 2019 các Trường THPT Chuyên khu vực Duyên hải và đồng bằng Bắc bộ

ĐỀ CHÍNH THỨC   (Đề thi gồm 1  trang)

KỲ THI  HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐB BẮC BỘ LẦN THỨ XII, NĂM 2019   ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC 10 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20/4/2019

 

Câu 1. (4 điểm)

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {y + 1} \right)^2} + y\sqrt {{y^2} + 1}  = x + \frac{3}{2}\\
x + \sqrt {{x^2} - 2x + 5}  = 1 + 2\sqrt {2x - 4y + 2} 
\end{array} \right.\left( {x,y \in R} \right)\).

Câu 2. (4 điểm)

Cho tam giác ABC có AB = AC, các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho \(DE||AB,DF||AC\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại các điểm A, G. Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại điểm \(H\left( {H \ne E} \right)\). Đường thẳng qua G vuông góc với GH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm \(K\left( {K \ne G} \right)\), đường thẳng qua G vuông góc với GC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại điểm \(L\left( {L \ne G} \right)\). Gọi P, Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác GDK, GDL. Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên cạnh BC thì:

a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GEF luôn đi qua hai điểm cố định.

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GPQ luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 3. (4 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương m, n và số nguyên tố p thỏa mãn \(4{m^3} + {m^2} + 40m = 2\left( {11{p^n} - 5} \right).\)

Câu 4. (4 điểm)

Cho 3 số thực dương \(a, b, c\). Chứng minh rằng:       

                           \(\frac{{a(a - 2b + c)}}{{ab + 1}} + \frac{{b(b - 2c + a)}}{{bc + 1}} + \frac{{c(c - 2a + b)}}{{ca + 1}} \ge 0\)

Câu 5. (4 điểm)

Cho bảng ô vuông kích thước 100x100 mà mỗi ô được điền một trong các ký tự A, B, C, D sao cho trên mỗi hàng, mỗi cột của bảng thì số lượng ký tự từng loại đúng bằng 25. Ta gọi hai ô thuộc cùng hàng (không nhất thiết kề nhau) nhưng được điền khác ký tự là “cặp tốt”, còn hình chữ nhật có các cạnh song song với cạnh hoặc nằm trên cạnh của bảng và bốn ô vuông đơn vị ở bốn góc của nó được điền đủ bốn ký tự A, B, C, D là “bảng tốt”.

a) Hỏi trong các cách điền ở trên, có bao nhiêu cách điền mà mỗi bảng ô vuông  và  đều có chứa đủ các ký tự A, B, C, D ?

b) Chứng minh rằng với mọi cách điền thỏa mãn đề bài thì trên bảng ô vuông đã cho:

i) Luôn có 2 cột của bảng mà từ đó có thể chọn ra được  cặp tốt.

             ii) Luôn có một bảng tốt.

 

{-- xem đáp án đề thi HSG môn Toán 10 năm 2019 của các Trường THPT Chuyên khu vực Duyên hải và đồng bằng Bắc bộ​ ở phần xem online hoặc tải về --}

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Đề thi HSG môn Toán 10 năm 2019 các Trường THPT Chuyên khu vực Duyên hải và đồng bằng Bắc bộ. Để xem toàn bộ nội dung và đáp án đề thi các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính. 

Hy vọng đề thi này sẽ giúp các em trong đội tuyển HSG Toán 10 ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới.

>>> Các em có thể tham khảo thêm một số đề thi và làm bài thi trắc nghiệm online tại đây :

• Đề thi HSG môn Toán 10 năm 2019 Trường THPT Thị xã Quảng Trị
• Đề thi HSG môn Toán 10 năm 2019 Sở GD & ĐT Hải Dương
• Đề thi HSG môn Toán 10 năm 2019 Trường THPT Nguyễn Đức Cảnh - Thái Bình