Chuyên đề tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng Toán 12

Trong không gian \(Oxyz\) , cho ba điểm \(A\left( {{x_A};{y_A};\,{z_A}} \right), B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) và \(C\left( {{x_C}\,;{y_C}\,;{z_C}} \right)\)

• Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A};{z_B} – {z_A}} \right)\) .

• Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB , \(I\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\) .

• Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC, \(G:\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\) .

• Nếu \(\overrightarrow u = \left( {x\,;y\,;z} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow u = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) .

\(\overrightarrow u = \left( {{x_1}\,;{y_1}\,;{z_1}} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow v = \left( {{x_2}\,;{y_2}\,;{z_2}} \right)\,\left( {\overrightarrow v \ne \overrightarrow 0 } \right)\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow u = k\overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = k{x_2}\\{y_1} = k{y_2}\\{z_1} = k{z_2}\end{array} \right.\).

• Đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm A và B thì \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \) hoặc \(\overrightarrow {BA} \) .

• Nếu \(\overrightarrow u \) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) thì \(k\overrightarrow u \,\,\left( {k \ne 0} \right)\) cũng là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

• Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng kia.

• Nếu đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) của đường thẳng \(\Delta \) chính là vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) , tức \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{n_\alpha }} \) .

• Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {{x_0}\,;{y_0}\,;{z_0}} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {a\,;\,b\,;c} \right)\) có phương trình tham số \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) và phương trình chính tắc \(\Delta :\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}\,\,\left( {abc \ne 0} \right).\)

• Điểm M thuộc đường thẳng \(\Delta \) có PTTS \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) thì \(M\left( {{x_0} + at\,;{y_0} + bt\,;{z_0} + ct} \right).\)

• Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\) và \(\left( {\alpha ‘} \right):A’x + B’y + C’z + D’ = 0\)

• Với điều kiện \(A:B:C \ne A’:B’:C’\) . Điều kiện trên chứng tỏ hai mặt phẳng đó cắt nhau. Gọi d là đường thẳng giao tuyến của chúng. Đường thẳng d gồm những điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) vừa thuộc \(\left( \alpha \right)\) vừa thuộc \(\left( {\alpha ‘} \right)\) , nên tọa độ của M là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}Ax + By + Cz + D = 0\\A’x + B’y + C’z + D’ = 0\end{array} \right.\) . Khi đó \(\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n’} } \right]\) với \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) và \(\overrightarrow {n’} = \left( {A’;B’;C’} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d

• Một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song hoặc chứa trục \(Ox\) là \(\overrightarrow i = \left( {1\,;0\,;0} \right)\) .

• Một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song hoặc chứa trục Oy là \(\overrightarrow j = \left( {0\,;1\,;0} \right)\) .

• Một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song hoặc chứa trục Oz là \(\overrightarrow k = \left( {0\,;0\,;1} \right)\) .

Ví dụ: Trong không gian \(Oxyz\), vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm \(M\left( {1\,; – 2\,;1} \right)\).

A. \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;\,1;\,1} \right)\). B. \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;\,2;1} \right)\). C. \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {0;\,1;\,0} \right)\). D. \(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1\,;\, – 2\,;\,1} \right)\).

Lời giải

Chọn B

Ta có: \(\overrightarrow {OM} = \left( {1\,; – 2\,;1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng OM.

Mức độ 1

Câu 1. Trong không gian \(Oxyz\), một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {1\,;2\,;3} \right)\) và \(B\left( {3\,; – 2\,; – 1} \right)\)có tọa độ là

A. \(\left( { – 1\,;2\,;2} \right)\). 

B. \(\left( {1\,;2\,;2} \right)\). 

C. \(\left( {2\,;4\,;4} \right)\). 

D. \(\left( {2\,;0\,;1} \right)\).

Lời giải

Chọn A

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2\,; – 4\,; – 4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = – 2\overrightarrow u \) với \(\overrightarrow u = \left( { – 1\,;\,2\,;\,2} \right)\).

Ta chọn \(\overrightarrow u = \left( { – 1\,;\,2\,;\,2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {1\,;2\,;3} \right)\) và \(B\left( {3\,; – 2\,; – 1} \right)\).

Câu 2. Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( { – 3\,;2\,  ;2} \right),B\left( {0\,; – 1\,;2} \right),C\left( {1\,;1\,;3} \right)\), một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) đi qua C và song song với AB có tọa độ là

A. \(\left( { – 3\,;3\,;3} \right)\). 

B. \(\left( {1\,;\, – 1\,;\,0} \right)\). 

C. \(\left( {1\,; – 1\,;1} \right)\). 

D. \(\left( { – \frac{3}{2}\,;\frac{1}{2}\,;2} \right)\).

Lời giải

Chọn B

Vì \(\Delta \) song song với AB, nên \(\overrightarrow {AB} \) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {3\,; – 3\,;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow u \) với \(\overrightarrow u = \left( {1\,;\, – 1\,;\,0} \right)\).

Ta chọn \(\overrightarrow u = \left( {1\,;\, – 1\,;\,0} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).

Câu 3. Trong không gian \(Oxyz\), một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {1\,;3\,; – 5} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x – 2y + 3z – 4 = 0\) có tọa độ là

A. \(\left( { – 5\,;3\,;1} \right)\). 

B. \(\left( {1\,;3\,; – 4} \right)\). 

C. \(\left( {1\,; – 2\,;3} \right)\). 

D. \(\left( { – 2\,;3\,; – 4} \right)\).

Lời giải

Chọn C

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1\,; – 2\,;3} \right)\).

Vì \(\Delta \bot \left( \alpha \right) \Rightarrow \)vectơ chỉ phương của \(\Delta \): \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1\,; – 2\,;3} \right)\).

Câu 4. Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t\\z = 2 – t\end{array} \right.\) . Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) có tọa độ là

A. \(\left( {1\,;0\,; – 1} \right)\). 

B. \(\left( {0\,;1\,;1} \right)\). 

C. \(\left( {0\,;1\,;2} \right)\). 

D. \(\left( {0\,;2\,; – 2} \right)\).

Lời giải

Chọn D

Dựa vào phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \), ta thấy \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {0\,;1\,; – 1} \right)\). Chọn \(\overrightarrow {u’} = 2\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {0\,;2\,; – 2} \right)\) là một vectơ chỉ phương khác của \(\Delta \).

Câu 5. Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ – 3}} = z – 3\) . Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) có tọa độ là

A. \(\left( {1\,; – 3\,;3} \right)\). 

B. \(\left( { – 1\,;3\,; – 3} \right)\). 

C. \(\left( {2\,; – 3\,;0} \right)\). 

D. \(\left( {2\,; – 3\,;1} \right)\).

Lời giải

Chọn D

Ta có: \(\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ – 3}} = z – 3 \Leftrightarrow \frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ – 3}} = \frac{{z – 3}}{1}\). Dựa vào phương trình chính tắc của đường thẳng, ta thấy \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2\,; – 3\,;1} \right)\).

Mức độ 2

Câu 1. Trong không gian \(Oxyz\), gọi \({P_1}\,,{P_2}\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm \(P\left( {6\,;7\,;8} \right)\) lên trục Oy và mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({P_1}{P_2}\).

A. \(\left( {6\,;\, – 8\,;7} \right)\). 

B. \(\left( {6\,;\, – 7\,;8} \right)\). 

C. \(\left( {6\,;\,7\,;8} \right)\). 

D. \(\left( { – 6\,;\, – 7\,;8} \right)\).

Lời giải

Chọn B

Ta có:

\({P_1}\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(P\left( {6\,;7\,;8} \right)\) lên trục \(Oy \Rightarrow {P_1}\left( {0\,;7\,;0} \right).\)

\({P_2}\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(P\left( {6\,;7\,;8} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right) \Rightarrow {P_2}\left( {6\,;0\,;8} \right).\)

Chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({P_1}{P_2}\) là \(\overrightarrow {{P_1}{P_2}} = \left( {6\,; – 7\,;8} \right).\)

Câu 2. Trong không gian \(Oxyz\), gọi \({T_1}\,\), \({T_2}\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm \(T\left( {4\,;5\,;6} \right)\) lên các trục Oy và trục Oz. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({T_1}{T_2}\).

A. \(\left( {0\,;\, – 5\,;6} \right)\). 

B. \(\left( {0\,;\, – 6\,;5} \right)\). 

C. \(\left( {4\,;\, – 5\,; – 6} \right)\). 

D. \(\left( {0\,;\,5\,;6} \right)\).

Lời giải

Chọn A

Ta có:

\({T_1}\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(T\left( {4\,;5\,;6} \right)\) lên trục \(Oy \Rightarrow {T_1}\left( {0\,;5\,;0} \right).\)

\({T_2}\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(T\left( {4\,;5\,;6} \right)\) lên trục \(Oz \Rightarrow {T_2}\left( {0\,;0\,;6} \right).\)

Chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({T_1}{T_2}\) là \(\overrightarrow {{T_1}{T_2}} = \left( {0\,; – 5\,;6} \right).\)

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng Toán 12. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề viết phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12

Chúc các em học tốt!