Bài tập 8.3 trang 96 SBT Toán 8 Tập 2

Hướng dẫn giải

Sử dụng:

- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

- Công thức tính diện tích hình thang: \(S = \dfrac{1}{2}\left( {a + b} \right).h\)

Trong đó: \(a,b\) là độ dài hai đáy hình thang, \(h\) là chiều cao.

Lời giải chi tiết

a) Xét hai tam giác vuông \(ABH\) và \(CAH\) có:

\(\widehat {ABH} = \widehat {CAH}\) (cùng phụ với  \(\widehat {BAH}\))

\(\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = {90^o}\)

\(\Rightarrow ∆ ABH\) đồng dạng \(∆ CAH\) (g.g).

\( \Rightarrow\displaystyle {{AH} \over {CH}} = {{BH} \over {AH}}\)

\( \Rightarrow A{H^2} = BH.CH  \)

\(\Rightarrow AH=\sqrt {BH.CH} = \sqrt {4.9}  \)\(\,= 6\,(cm)  \)

Mặt khác, \(HD ⊥ AB\) và \(HE ⊥ AC\) nên \(\widehat {ADH} = \widehat {AEH} = \widehat {DAE} = {90^0}\)

Do đó, \(ADHE \) là hình chữ nhật.

Suy ra: \(DE = AH = 6 \;(cm)\) (hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}
\widehat {MDH} = {90^o} - \widehat {ODH}\\
\widehat {MHD} = {90^o} - \widehat {OHD}
\end{array}\)

Mà \(ADHE \) là hình chữ nhật nên \(OD=OH=\dfrac{AH}{2}=\dfrac{DE}{2}\)

Suy ra tam giác \(ODH\) cân tại \(O\) nên \(\widehat {ODH} = \widehat {OHD}\).

Do đó \(\widehat {MDH} = \widehat {MHD}\).

Xét tam giác \(MDH\) có \(\widehat {MDH} = \widehat {MHD}\) (chứng minh trên) nên \(\Delta MDH\) cân tại \(M\), do đó \(MD = MH\)     (1)

\(\begin{array}{l}
\widehat {BDM} + \widehat {MDH} = {90^o}\\
\widehat {MDH} = \widehat {MHD}\,\,(cmt)\\
\Rightarrow \widehat {BDM} + \widehat {MHD} = {90^o}
\end{array}\)

Mặt khác: \(\widehat {MBD} + \widehat {MHD} = {90^o}\) (hai góc nhọn trong tam giác vuông phụ nhau)

Do đó: \( \widehat {BDM} = \widehat {MBD}\) 

Suy ra \(\Delta BDM\) cân tại \(M\) nên \(MD = BM\)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(M \) là trung điểm của \(BH\).

Chứng minh tương tự \(N\) là trung điểm của \(CH.\)

c) Theo chứng minh trên, ta có:

\(DM = MH \displaystyle= {1 \over 2}BH = \displaystyle{1 \over 2}.4 = 2(cm) \)

\(EN = NH \displaystyle= {1 \over 2}CH =\displaystyle {1 \over 2}.9 = 4,5\)\(\,(cm) \)

\(DE = AH = 6\,(cm) \)

Ta có \(MD//EN\) (cùng vuông góc với \(DE\)) nên \(DENM \) là hình thang.

Lại có \(\widehat {MDE}=90^0\) nên \(DENM \) là hình thang vuông, do đó diện tích của nó là:

\(\displaystyle {S_{DENM}} = {1 \over 2}\left( {DM + EN} \right)DE \)\(\,\displaystyle = {1 \over 2}.\left( {2 + 4,5} \right).6 = 19,5\,(c{m^2})\).

-- Mod Toán 8 HỌC247