Bài tập 12.6 trang 32 SBT Toán 7 Tập 1

Hướng dẫn giải

Chứng minh phản chứng: Ta giả sử \(\sqrt a\) là số hữu tỉ.

Lời giải chi tiết

Giả sử \(\sqrt a\) là số hữu tỉ thì \(\sqrt a\) viết được thành \(\sqrt a  = \displaystyle {m \over n}\) với \(m, n ∈\mathbb N, n ≠ 0\) và \(ƯCLN (m, n) = 1\).

Do \(a\) không phải là số chính phương nên \(\displaystyle {m \over n}\) không phải là số tự nhiên, do đó \(n > 1\).

Ta có \(\sqrt a  = \dfrac{m}{n} \Rightarrow a = \dfrac{{{m^2}}}{{{n^2}}} \)\(\Rightarrow {m^2} = a.{n^2}\)

Gọi \(p\) là một ước nguyên tố của \(n\) thì \(m^2\,⋮\, p\), do đó \(m\, ⋮\, p\).

Như vậy \(p\) là ước nguyên tố của cả \(m\) và \(n\), mà \(p\ge 2\). Điều này trái với giả thiết \(ƯCLN (m, n) = 1\).

Vậy \(\sqrt a\) là số vô tỉ. 

-- Mod Toán 7 HỌC247