Giải Bài 4 trang 56 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Lời giải chi tiết

Gọi \(I\) là trung điểm của \(B{\rm{D}}\).

Ta có: \(I\) là trung điểm của \(B{\rm{D}}\)

\(K\) là trung điểm của \(CD\)

\( \Rightarrow IK\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\)

\( \Rightarrow IK\parallel BC \Rightarrow \left( {AK,BC} \right) = \left( {AK,IK} \right) = \widehat {AKI}\)

\(IK = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}\)

\(AI\) là trung tuyến của tam giác \(AB{\rm{D}}\)\( \Rightarrow AI = \frac{{\sqrt {2\left( {A{B^2} + A{{\rm{D}}^2}} \right) - B{{\rm{D}}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(AK\) là trung tuyến của tam giác \(AC{\rm{D}}\)\( \Rightarrow AK = \frac{{\sqrt {2\left( {A{C^2} + A{{\rm{D}}^2}} \right) - C{{\rm{D}}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Xét tam giác \(AIK\) có:

\(\cos \widehat {AKI} = \frac{{A{K^2} + I{K^2} - A{I^2}}}{{2.AK.IK}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow \widehat {AKI} \approx {73^ \circ }13'\)

Vậy \(\left( {AK,BC} \right) \approx {73^ \circ }13'\).

-- Mod Toán 11 HỌC247