Bài tập 2 trang 51 SBT Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo - CTST

a) Ta có: \(\left\{ \begin{matrix} SA\bot AC \\ SA\bot BC \\ \end{matrix} \right.\)

$\Rightarrow$ SA ⊥ (ABCD) $\iff$ SA ⊥ AD.

Do BC // AD nên (BC, SD) = (AD, SD).

$\tan \widehat{ADS}=\frac{SA}{AD}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$

Do đó $\left(BC,SD\right)=\widehat{ADS}$ = 60°.

b) Do MN // CD nên (SD, MN) = (SD, CD) = $\widehat{SCD}$ .

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

\(\left\{ \begin{matrix} SD=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=2a \\ SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=2a \\ \end{matrix} \right.\)

Áp dụng định lí hàm cos trong ∆SCD, ta có:

$\cos \widehat{SCD}=\frac{S{C}^2+C{D}^2-S{D}^2}{2.SC.CD}=\frac{{\left(2a\right)}^2+a^2-{\left(2a\right)}^2}{2.2.a.a}=\frac{1}{4}$.

Do đó (SD, MN) = ≈ 75,52°.

-- Mod Toán 11 HỌC247