Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Bài 2: Công thức lượng giác

Một thiết bị trễ kĩ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thuần f₁(t) = 5sin t và phát lại được nốt thuần f₂(t) = 5cos t thì âm kết hợp là f(t) = f₁(t) + f₂(t), trong đó t là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ), tức là âm kết  hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm k và pha ban đầu φ (– π ≤ φ ≤ π) của sóng âm.

a) Cho \(a = \frac{\pi }{4}\) và \(b = \frac{\pi }{6}\), hãy chứng tỏ cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b.

b) Bằng cách viết a + b = a – (– b) và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính cos(a + b).

c) Bằng cách viết \(\cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {a - b} \right)} \right] = \cos \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) + b} \right]\) và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính sin(a – b).

Chứng minh rằng:

a) \(\sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\);

b) \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) \)\(= \frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}}\:\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\:x \ne \frac{{3\pi }}{4} + k\pi ,\:k \in Z} \right)\:\).

Giải bài toán trong tình huống mở đầu: Một thiết bị trễ kĩ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thuần f₁(t) = 5sin t và phát lại được nốt thuần f₂(t) = 5cos t thì âm kết hợp là f(t) = f₁(t) + f₂(t), trong đó t là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ), tức là âm kết  hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm k và pha ban đầu φ (– π ≤ φ ≤ π) của sóng âm.

Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính: sin 2a; cos 2a; tan 2a.

Không dùng máy tính, tính cosπ/8

a) Từ các công thức cộng cos(a+b) và cos(a−b), hãy tìm: cosacosb;sinasinb.

b) Từ các công thức cộng sin(a+b) và sin(a−b), hãy tìm: sinacosb.

Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức:

A$=\cos {75}^0\cos {15}^0$;                                                        

B$=\sin \frac{5\pi }{12}\cos \frac{7\pi }{12}$.

Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt u=a−b,v=a+b và viết các công thức nhận được

Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức \(B = \cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9} + \cos \frac{{11\pi }}{9}\).

Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình 1.13 cho thấy tần số thấp f₁ và tần số cao f₂ liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm \(y = \sin \left( {2\pi {f_1}t} \right) + \sin \left( {2\pi {f_2}t} \right)\), ở đó t là biến thời gian (tính bằng giây).

a) Tìm hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4.

b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số côsin.

Sử dụng \({15^0} = {45^0} - {30^0}\), hãy tính các giá trị lượng giác của góc \({15^0}\).

Tính:

a) \(\cos \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right)\), biết sina=$\frac{1}{\sqrt{3}}$ và $\frac{\pi }{2}<a<\pi$;

b) $\tan \left(a-\frac{\pi }{4}\right)$, biết $\cos a=-\frac{1}{3}$ và $\pi <a<\frac{3\pi }{2}$.

Tính sin2a,cos2a,tan2a, $$biết:

a) $\sin a=\frac{1}{3}$ và \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \)

b) sina+cosa = \(\frac{1 }{2}\) và \(\frac{\pi }{2} < a <\frac{3\pi }{4} \)

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(A = \frac{{\sin \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{\pi }{{10}} + \sin \frac{\pi }{{10}}\cos \frac{\pi }{{15}}}}{{\cos \frac{{2\pi }}{{15}}\cos \frac{\pi }{5} - \sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{\pi }{5}}}\)                         

b) \(B = \sin \frac{\pi }{{32}}\cos \frac{\pi }{{32}}\cos \frac{\pi }{{16}}\cos \frac{\pi }{8}\)

Chứng minh đẳng thức sau:

\(\sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right)  \)\(= {\sin ^2}a - {\sin ^2}b \)\( = {\cos ^2}b - {\cos ^2}a\)

Cho tam giác ABC có \(\hat B = {75^0};\hat C = {45^0}\) và a=BC=12cm.

a) Sử dụng công thức \(S = \frac{1}{2}ab.\sin C\) và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác ABC cho bởi công thức \(S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}}\)

b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC.

Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức \(x\left( t \right) = A.\cos \left( {\omega t + \varphi } \right),\:\), $$trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0) và φ∈[−π;π] là pha ban đầu của dao động.

Xét hai dao động điều hòa có phương trình:

     \({x_1}\left( t \right) = 2.\cos \left( {\frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{6}} \right)\left( {cm} \right)\)

     \({x_2}\left( t \right) = 2.\cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{3}} \right)\left( {cm} \right)\)

Tìm dao động tổng hợp \(x\left( t \right) = {x_1}\left( t \right) + {x_2}\left( t \right)\) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

Không sử dụng máy tính, tính các giá trị lượng giác của góc \({105^0}\)?

Cho \(\cos 2x = - \frac{4}{5}\) với \(\frac{\pi }{4} < x < \frac{\pi }{2}\). Tính \(\sin x,\cos x,\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right),\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)\)?

Chứng minh đẳng thức sau: \({\sin ^4}a + {\cos ^4}a = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4a\)?

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) \(A = \sin \frac{\pi }{9} - \sin \frac{{5\pi }}{9} + \sin \frac{{7\pi }}{9}\);

b) \(B = \sin {6^0}\sin {42^0}\sin {66^0}\sin {78^0}\).

Chứng minh rằng:

a) \(\cos a - \sin a = \sqrt 2 \cos \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\);

b) \(\sin a + \sqrt 3 \cos a = 2\sin \left( {a + \frac{\pi }{3}} \right)\).

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có: \(\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}\)?